積分法の証明

質問

∫tanhxdx=log(coshx)+c
を証明したいのですが、置換積分を使えばいいのでしょうか？出だしにつまずいています。お願いします。
また、これは雑談ですが∫cot^2xdxはいくつなのですか？値を知りたいのですが、どうも導き出せないのです。
cot^2=cos^2/sin^2=(1-sin^2)/sin^2
で止まってしまって・・・(；・∀・)
できれば、こちらの方もお願いします(m_m)

回答No.1

waseda2003 · ベストアンサー

（前半）
cosh(x) = (e^x+e^{-x})/2，
tanh(x) = (e^x-e^{-x})/(e^x+e^{-x})
のことですよね？
対数微分法 (log f(x))'= f '(x)/f(x) を用いて，
log(cosh(x))を微分すればよいのでは？

（後半）
∫tan^2(x)dx のときと同様に考えます。

cot^2(x) = cos^2(x)/sin^2(x)
= (1-sin^2(x))/sin^2(x)
= 1/sin^2(x) -1

まではできているのですから，
cot(x)=cos(x)/sin(x)を微分した結果と比べてみて下さい。