極座標で与えられた曲線を回転させたときの曲面積

質問

r=f(θ)をx軸またはy軸で回転させたときの曲面積はどのように求めることができるのでしょうか。

回答No.2

中村 拓男（@tknakamuri） · ベストアンサー

この辺りは微分幾何では定式化されていて標準的な問題なので
微分幾何の教科書を見ることをお薦めします。

基本的な流れは

1) 回転体の表面の点(デカルト座標)を ２変数(この場合θ φかな)
で表す。
2) 1)から計量テンソル(縮尺の拡張のようなもの)を求める。
3) 計量テンソルを考慮した重積分を２変数で行う。

この流れはどんな曲面にでも使える考え方なので便利です。

お礼

考え方が分かりました。ありがとうございます。

回答No.1

stomachman

「曲面積」てのは曲面の表面積という意味かしらん。fは滑らかな一価関数で、x軸とはθ=0のことでθ=0～πの範囲でだけ考える（y軸ならθ=π/2のことで,θ=-π/2～π/2の範囲でだけ考える）というような話じゃないでしょうか。ならば、極座標かどうかなんて関係ないです。
　x軸(あるいはy軸）から曲線までの距離h(p)と、曲線に沿った道のりs(p)に関するds/dpを使って、「曲面積」を計算したい範囲について定積分∫|(ds/dp)h(p)|dp をやるだけ。ここでp=θとするか、p=xとするか、あるいはもっと別の媒介変数(たとえばp=sとかp=rとかp=cosθとか)を使うかは、積分の計算がしやすくなるように選べば良い。

お礼

参考になりました。