相似変換とユニタリ変換

質問

今までユニタリ演算子に依る相似変換をユニタリ変換と思っていたのですが、違いますか？

私の理解ではAの相似変換は
P^(-1)AP
でPがユニタリのときAのユニタリ変換は
(P^†)AP
だと思っていました。

ところがある本で、Pをユニタリ演算子として相似変換を
(P^†)AP、
ユニタリ変換を
PAP^(-1)
としていました。(P^†)APは私の理解でもユニタリ演算子による相似変換なので分からなくはないのですがユニタリ変換はどうしても理解できません。
もし私が間違っているなら正しい定義を教えて下さい。よろしくおねがいします。

回答No.16

alice_44 · ベストアンサー

何だか長くなっているが、A No.9 の前半部分で
解決している話ではないかと思う。

行列 L, R が互いに逆行列の関係にあるとき、
n 次行列 A を LAR に移す n×n 次の線型写像を
行列の「相似変換」と呼ぶ。それは明確として、
「P による相似変換」といえば L=P を指すのか、
R=P を指すのか、それ以前に
「P による相似変換」という言い方があるのか？

これは、きちんと標準化された言い方ではなく、
そのため、PA(Pの逆) が正解な訳でも
(Pの逆)AP が正解な訳でもないが、
どちらかといえば (Pの逆)AP 派の人が多い
…というのが実際のところではないかと思う。

これに対して、「P によるユニタリ変換」は
少し状況が違っている。
「相似変換」が、それ自体、行列に対する変換
の名前なの比べ、「P によるユニタリ変換」は、
行列 A にユニタリ変換を施すというよりも、
座標系をユニタリ変換する際に、A の成分表示が
受ける変換を指しているように感じられる。

その意味で、繰り返し補足質問されている
「P によるユニタリ変換とはユニタリ行列 P による
相似変換という意味か？」は、微妙に No っぽい。
結果的に同じことになる訳で、No とも言い難いが、
そういう語源の言い回しではないのだろうと
思えてならない。(どうにも主観的だが)

その上で、「P によるユニタリ変換」が
PA(Pの逆) を指すのか、(Pの逆)AP を指すのか
といえば、「座標のユニタリ変換 P」が
x→Px を指すのか、x→(Pの逆)x を指すのか
に依ることになる。
座標変換の結果、ベクトルの成分表示が受ける
線型変換の表現行列が P と読めば x→Px だし、
基底を P で変換すると読めば x→(Pの逆)x だ。
(列ベクトルが「反変ベクトル」と呼ばれる所以
でもある。)

…というようなことが、既に A No.9 に出ている。
要するに、言い回しの曖昧さによる問題なので、
文脈に沿って確認する必要があるのだろう。

回答No.5

eclipse2maven

＞この本では相似変換とユニタリ変換で別の流儀を使っているということでしょうか？

具体的、何を読んでいて、　その本では　ユニタリ変換　相似変換　をどう定義しているのですか？

補足

読んでいる本はJ.J.Sakuraiの「現代の量子力学」（上)です。定義はしていなくて出てきた式に対して「これは相似変換である」という書き方をされています。ユニタリ変換は「ユニタリ変換PAP^(-1)を作ることができる」とあります。原書は英語で邦訳を読んでいるので細かいニュアンスはわかりませんが、ユニタリ変換は議論の便宜上敢えてPAP^(-1)というユニタリ変換を作っているのかもしれません。

それと
#1の補足「ユニタリ変換は相似変換の一種で相似変換をP^(-1)APと書くときPがユニタリの場合を言う」
#4の補足「「AのPによる相似変換」をP^(-1)APと書くかPAP^(-1)と書くかは流儀による」
というのは正しいかどうかお答えいただけないでしょうか。

回答No.4

eclipse2maven

＃１のコメント　への　　答え

ρ(P)(A)=PAP^†

と書いたら

ρ(PQ)=ρ(P)ρ(Q)

とかけますが

ρ(P)(A)=P^†AP だと

ρ(PQ)=ρ(Q)ρ(P)

になります。

つまり　右作用で書くか　左作用で書くか　の違いです。

結構　左作用が普通になってる分野が多いですから。

補足

「AのPによる相似変換」をP^(-1)APと書くかPAP^(-1)と書くかは流儀によるということでしょうか？
そうすると同じ本の中ではどちらかに統一すべきですよね。
この本では相似変換とユニタリ変換で別の流儀を使っているということでしょうか？

回答No.3

alice_44

P がユニタリなら、P の逆行列もユニタリなので、
(Pの逆)AP も PA(Pの逆) も、ユニタリ行列による
相似変換に違いはないのですが…

ベクトルを P で変換すると言ったら、
一次変換 x → Px のことですよね。
このとき、標準基底は P の列ベクトルに移ります。
これを座標変換と解釈すると、
行列 A の成分表示は PA(Pの逆) に移ります。
(Pの逆)AP ではなく。

補足

たしかにP^(-1)APもPAP^(-1)も相似変換ですが、前者はPによる相似変換、後者はP^(-1)による相似変換と便宜上区別できますよね？
同じ本で相似変換をA'=(P^†)AP、ユニタリ変換をA'=PAP^(-1)と書いていたので不自然に思いました。
相似変換は前者、ユニタリ変換は後者の言い方を採用しているからです。

それと「ユニタリ変換は相似変換の一種」というのは正しいですか？

回答No.2

Tacosan

どこでひっかかっているのかわからんので想像するしかないのだが....

P がユニタリなら P^(-1) もユニタリだってだけ?

補足

Aの相似変換　：　A'=(P^†)AP
Aのユニタリ変換　：　A'=PAP^(-1)
と書いてあったのですがユニタリ変換はA'=P^(-1)APなどと書くべきでは？ということです。

回答No.1

eclipse2maven

すいません　どこの空間で話をされてるのか？　わからないので、とりあえず有限次元の線形空間上での話しと思います。

だからみんな演算子と書かれてるのは、線形写像（つまり行列）とおもいます。
無限次元つまりヒルベルト空間でも同じだと思いますが（ユニタリって書いてるから、それ以上の一般化された空間ではないと思いますが）

有限次元だと、相似変換は　基底の取替えにあたります。

ユニタリーってことは、複素線形空間で複素内積が入ってってるということですね。

P^†　って　行列Pの転置と複素共役をとる操作と思うのですが違いますか？（つまりP^*　と同じ）

行列P　が　ユニタリーの定義は　P^†＝P^{-1}　なのですが。

つまり　同じです。相似変換側で言うと正規直交基底を正規直交基底に移す相似変換がユニタリーです。座標を変えたと見るか。点を動かしたと見るか？　　シュレデンがー表示hハイゼンベルグ表示かみたいなことだと思うのですが。

有限次元で話しましたか、無限次元のヒルベルト空間ならば、適宜置き換えて判断してください。

補足

回答有難うございます。
空間は有限または無限次元の複素線形空間です。

同じというのはユニタリ変換は相似変換の一種という意味ではないのですか？
「Aを相似変換したものがB」というのはB=P^(-1)APを意味しますよね？
(本ではPがユニタリなのでP^†を使っていましたが)

では「Aをユニタリ変換したものがB」というのはPをユニタリ行列としてB=(P^†)AP（あるいはB=P^(-1)AP）ではないのですか？
本ではPAP^(-1)と書かれているので疑問に思いました。