今更聞けない「PならばQ」の考え方

質問

甥っ子に質問され明確に答えられません、
P→Qの真偽について、P,Qに変数が入った場合、どうなるのか？

例１
P:x=3　Q：x^2=9　でP→Q　の真偽を考えるとき　
これは任意のxについて考えるものなのでしょうか？　この場合x=3が真の時x^2=9も真なのでP→Qは真。x=3が偽の時はQの真偽に関係なくP→Qは真なので、全てのxについて　P→Q　は真といえますが、
例２
P:x=3　Q：x^2=10　でP→Q　の真偽を考えるとき
x=3が真なら　x^2=10は偽で　P→Qは偽になりますが、x=3が偽なら　Qに関係なくP→Qは真。
これは真偽が不明ととらえるのでしょうか？　それとも任意のｘで真とならないので偽ととらえるのでしょうか？

私自身はこれまであまり深く考えなく、P→Qを　if P then Q　ととらえてましたので、「Pは真と仮定して」が暗黙のうちに隠されていると思ってました。すなわち　P→Q　は　（Pが真）で　P→Q　を考えていましたが、皆さんはどうなんでしょうか？

回答No.25

eclipse2maven · ベストアンサー

＃２４　MagicianKumａさん

＞それで良いですよね

いいとおもいます。

お礼

了解しました。

回答No.15

中村 拓男（@tknakamuri）

>田崎晴明「数学：物理を学び楽しむために」

おお、PDFなんですね。

私からのお薦めです。高校生には無理ですが

「∀と∃に泣く」石谷茂。

回答No.14

eclipse2maven

>!3

(3): eclipse2maven さんが支持

あのー　わたしそんなこといってませんが。。。

回答No.13

boiseweb

なんか， eclipse2maven さんと tknakamuri さんの議論が延々と平行線をたどりそうなので，打開のために介入します．

まず，質問者さん（MagicianKuma さん）に確認です．
甥御さんのおおもとの質問では，記号「→」が使われた形で問いが（学習参考書などに）提示されていたのでしょうか．つまり，

(A)
「P:x=3　Q：x^2=10　で P→Q　の真偽を考える」
のように，あるいは
「x=3 → x^2=10」
のように，記号「→」を使って問題文が書かれていたのでしょうか．それとも，

(B)
「P:x=3　Q：x^2=10　で P→Q　の真偽を考える」
という文は，MagicianKuma さんがご自身の疑問を説明するために作文したものでしょうか．

もし (B) であれば，MagicianKuma さんが質問のしかたを変えて，「P→Q」と書かずに「PならばQ」と書くことを強くすすめます．私の想像ですが，たぶん，高校教科書などでは「x=3 → x^2=10」のような「→」を使う書き方はしていないのではないかと思います．

========
上述の立場の確認を前提として，#５補足の疑問を修正すると

高校数学の範囲で
「x=3 ならば x^2=10」の真偽は
(1)偽　　（x=3を真と仮定して）
(2)偽　　（任意のxを考えて、真とならないので）
(3)不明　（xによって真になったり、偽になったりするので）
のどれが正しいの？

となります．それに対して，
(1)： MagicianKuma さんの当初の考え
(2)： tknakamuri さんが支持
(3): eclipse2maven さんが支持
というのが議論の現状ですよね．

これについての私の意見は次のとおりです．

「数学の文脈における『ならば』という言葉の解釈の立場としては，(2)を支持，(3)を不支持」
「(1)は(2)と同じ結論を導くので，(2)と同じ立場と考えてよい」
「高校生にとっては(1)のほうが理解しやすく，また高校生が出会うであろう問題の範囲では(1)の理解で対応できるので，高校生への教え方としては(1)を用いてかまわない」

P,Q が「命題」であって，しかも，記号「→」を使って「P→Q」と書いた場合，それを「Pでないか，または，Qである」と解釈するのは，命題論理の規約です．
しかし，P,Q が「変数 x についての述語（条件）」で，かつ，「→」でなく「ならば」を使って「PならばQ」と書いた場合に，命題論理の規約を杓子定規に当てはめて「Pでないか，または，Qである」で表される「変数 x についての述語」と解釈することに拘泥するのは，数学一般の文脈における「ならば」という言葉の使われ方から乖離した，あまりに狭量な立場です．
数学（特に高校数学教科書）における「ならば」という言葉の現実的な使われ方との整合を重視するなら，P,Q が変数 x についての述語であるときの「PならばQ」は，「すべての x について『Pでないか，または，Qである』」という「命題」と解釈するのが妥当なのです．

（これが「ならば」でなく「→」だと，私もここまで強く言い切る気にはなれず， (3)の立場も一理あると言わざるを得なくなります．）

========
P,Q が変数 x についての述語であるときの「PならばQ」の解釈については，大学レベルの数学教科書でも明確に説明している教科書が少なく，（残念ながら）うやむやにされているのが現状です．それを「すべての x について『Pでないか，または，Qである』」という「命題」と解釈すべし，という立場を明示して書かれている大学生向けの数学教科書として，

嘉田勝「論理と集合から始める数学の基礎」（日本評論社）

を紹介しておきます．
同様の立場で書かれた，ネット上で読めるテキストとしては

田崎晴明「数学：物理を学び楽しむために」

を紹介します（参考URL）．３２ページ以降に，述語についての「ならば」について記述があります．

参考URL：

http://www.gakushuin.ac.jp/~881791/mathbook/

お礼

回答ありがとうございます。思わぬ反響で戸惑っています。
＞私の想像ですが，たぶん，高校教科書などでは「x=3 → x^2=10」のような「→」を使う書き方はしていないのではないかと思います．
正確には　→　ではなく　⇒　がはっきりと使われております。教科書数学A　集合と論理のなかで。

命題
　正しいか正しくないかがはっきりと定まる文や式を命題という。命題が正しいことを真、正しくないことを偽という。
「pならばq」という表現で表される命題は、記号で「p⇒q」と表され、pを仮定、qを結論という。

命題と集合
　条件p,qを満たす集合をそれぞれP,Qとするとき、 p⇒q ならば　P⊂Q

必要条件、十分条件
　「p⇒q」が真の時、pはqであるための十分条件、qはpであるための必要条件であるという。

問題集などの例では前置きなく
　以下の命題の真偽をいいなさい。
　x>3　⇒　x^2>9　　　答え　真　　　
とかでてきます。

また、ドモルガンの法則もでています。　ただし、集合記号の∈，∩，∪，φ，⊂，⊃，￣はでてきますが、、
論地記号の￢, ∧, ∨は出てきません。否定、かつ、またはという言葉ででてきます。
ただし、⇒は出てきます。（上で述べたように）

真理値表もでてきません。　ただ、多くの参考書で論理記号・真理値表はでてきます。

回答No.12

中村 拓男（@tknakamuri）

どんどん難しくなりますね(^^;

全体としては議論に差異はなく、言葉の使い方かなと感じているのですが、

>（3)不明　（xによって真になったり、偽になったりするので）
>となるので　これは　命題でなくなります。

命題と命題関数を区別されているのですね。でも論理学では
P->Q は命題関数と教えませんでしたっけ？
共有パラメータが無いと条件を結果に伝えられないはずなんですが、
この考え方間違っていますでしょうか？

何か話が食い違っている気がします。
＃やっぱり言葉の端っこのはなしかな？？

回答No.11

eclipse2maven

xに何か数字があたえられたとき

x=3 → x^2=10　の真偽は

x=3のときは
x=3 → x^2=10　は偽

その他の時は
x=3 → x^2=10　は　真

となります

回答No.10

eclipse2maven

それから　追加補足すると

６のコメントで書かれるように

xにある値が入っている時を考えない限り

（3)不明　（xによって真になったり、偽になったりするので）

となるので　これは　命題でなくなります。

それか、全てのx（かりに実数全体）で　成り立つかは　命題になりますが　これは別の命題になります。

xになにか数値を固定して、はじめて命題になるのであって、それまでは命題ではないのです。　それかすべてのxにいれた数値に対してという、別の命題を考えるかになりますが。この辺がまだ質問者さんが混同されているように思います。

回答No.9

eclipse2maven

#8のコメント　へのコメント

甥子さんには、こう答えたらよいとおもいます。

P==>Q　という命題は　

Pが真のときは　Qが真
Pが偽

のとき　真です。

これは　P==>Q　という命題の真偽であって、Qの真偽ではありません。

だから　　X=3 ＝＞ X^2=10　の真偽を考える時、X=3が偽　のときは　いつでも
X=3 ＝＞ X^2=10　は真です　　

ただ、わたしたちが、普段使っているときは　Qが真をいいたいのがほとんどあって、
P=>Q の真偽には、関心があありません。　Pという命題が正しいことをつかって、Qが真であることを　P=>A　A=>B　B=>C　C=>Q　という風にリレーして　Qが真を示しているわけです。この場合　各々の　=＞　がついてる4つの命題は真で　かつ　左側が真だから、右側も真　といことを使っているのです。　だから　Pが偽の場合は考えていません。

Pが偽を積極的に使うケースは　＃１で書いた　Φ⊂Φ　の証明とか　対偶をとったりする場合です。

回答No.8

eclipse2maven

No6 さんへ

>質問の趣旨は、パラメータ付きの論理式を与えられたとき、
>それが命題関数なのか、全称命題　なのかということです。

ほんとうにそうでしょうか？　　
もちろん　N０６.さんような、解釈も出来なくはないと思うのですが。

ただ、質問者さんが

＞私自身はこれまであまり深く考えなく、P→Qを　if P then Q　ととらえてましたので、「Pは真と仮定して」が暗黙のうち＞に隠されていると思ってました。すなわち　P→Q　は　（Pが真）で　P→Q　を考えていましたが、皆さんはどうなんでしょう＞か？

書かれてるところが、気になります。

もちろん、それなら、それでいいのですが、ただ、ほんとうにそれを質問者の方が甥子さんに伝えたとき　ちがった理解を植え付ける可能性はありませんか？　それが怖いから、あえて注意を促しているのです。

本当にパラメーター付きの論理式を聞いてるのでしょうか？　

もちろん

＞P→Qの真偽について、P,Qに変数が入った場合、どうなるのか？　

からは、パラメータ付きととれますが。。。　　それが、本当に甥子さんの聞きたいことなのか。

お礼

回答ありがとうございます。
甥のそもそもの質問は、P→Qを考えるとき、私と同様に暗黙のうちにPが真を前提にして考えていた。
なのに、真偽表にはPが偽の場合ものっており、これはどういうことか？が質問の出発点です。
で、高校の数学の範囲では（甥は高校生です）x=3 → x^2=10　の真偽を考える時、
甥は、上記に現れる式は、普通の数式で、xは普通にいうところの数で、^2は2乗で=は等しいの意味ととらえています。で、x=3が偽の時を考えるとはどういうことかが、そもそもの質問であろうと私は受け取っています。
で、最初は私はPに変数が入ったときは、暗黙にPは仮定であり、仮定だから真と考えて、P→Qを考えればあげ良いと、甥に返答したわけですが、本当か？というのが私自身の質問です。

回答No.7

中村 拓男（@tknakamuri）

もうひとつ

全称記号∀の件ですが、私も詳細を突っ込まれると
あやしいのですが、論理というものは暗黙の前提に何重にも
包まれた舞台装置のようなものの上で展開せざるを得なくて、
暗黙の仮定というか前提条件が存在します。

今回の x は暗黙のうちに 実数 が仮定されています。多分。
＃でないと大小判断ができない。

つまり ∀x は x は任意の実数の範囲で変化することになり
「任意の」に何の制限もないわけではありません。

そこは「常識的」にくみ取って判断するしかないようです。

この辺りは難しいですね。

回答No.6

中村 拓男（@tknakamuri）

No.5 へ

なんか話がかみ合ってないです。

質問の趣旨は、パラメータ付きの論理式を与えられたとき、
それが命題関数なのか、全称命題　なのかということです。

命題関数ならば具体的な x を与えてやらないと真偽は決まりませんが、
全称命題　なら決まります。
つまりパラメータを命題から消すことができるという点が命題関数との
決定的な違いです。

x=3 なら　x^2=10

の真偽を判定せよという問いなら、通常は後者であろうという話です。

命題関数なら x=3 では偽、x≠3 では真　が解でしょう。

全称命題ならば x=3 という仮定が成り立っているとき、
x^2=10 が成り立てば命題は真ですし、そうでなければ偽です。

お礼

回答ありがとうございます。
端的な質問に変えれば

高校数学の範囲で
x=3 → x^2=10　の真偽は
(1)偽　　（x=3を真と仮定して）
(2)偽　　（任意のxを考えて、真とならないので）
(3)不明　（xによって真になったり、偽になったりするので）

のどれが正しいの？　が質問です。で最初私は(1)と甥に説明したわけです。