有界についての論理式の問に困ってます。お願いします

質問

問い
A⊂R(A≠∅)は上に有界とする。；∃a₀R；ｘ≦a₀,∀ｘ∊A

その時、(1)と次の(2)の主張が同等であることを示せ。
∀ε＞０,∃a∊A; a₀-ε≺ a…(1)

∃{ａｎ}⊂Ａ；ａｎ→ａ₀(ｎ→∞)・・・(2)

(2)→(１)を示す際、εｎ論法を用いて、示すのでしょうか？どのように解答するのか教えてください。

回答No.3

151A48 · ベストアンサー

（２）→（１）自体は
an→a0 (n→∞)　とは，　任意のε＞０に対してある自然数Ｎが存在し，ｎ＞Ｎなるｎに対しa0の左右εの範囲にＡの元であるanが入る，ということですから，a0-ε<an で（１）が言えています。

でもこれは，

Dedekindの切断
上限（下限）の存在（Weierstrass）
有界な単調列の収束
区間縮小法

の４つが同値であることの証明の一環なのかな？だったらちょっと書き方が変。
私のような年寄りは　解析概論（高木貞治）　というのを読みましたが，学校の図書館にあると思うので，調べてみられたら？参考まで。

回答No.4

Tacosan

(1) と (2) の a0 が同じものだとしても, (2) を定義から ε-δ で書いても「そのまま (1) になる」わけじゃない. ちょっとは頭を使おうよ.

考えて, それでも「わからない」なら「どのように考えてどこまでできてどこで困ったのか」ちゃんと書いてください.

回答No.2

Tacosan

厳密には何を示せばいいんだろう. (1) や (2) における a0 に対して限量子が付いてないんだけど, どう解釈するのかな.

最初の仮定の a0 は仮定の中で閉じちゃってるから, (1) や (2) の a0 とは関係ないと思われてもしょうがないんじゃないかなぁ.

回答No.1

alice_44

書き方が少し変ですが、
∃a0∊R,∀x∊A;x≦a0 の下で、
∀ε>0,∃a∊A;a0-ε<a …(1) と
∃{an|n∊N}⊂Ａ;lim[n→∞]an=a0 …(2) が
同値であることを示したいのですね。

要するに、(1) も (2) も、
a0 が A の上限であることを表しています。

(2)⇒(1) を示すには、「εδ論法を用いる」というか、
(2) に含まれる lim を εδ式で書き下してしまえば
よいでしょう。

補足

εδ式で書き下しても、(１)式にはならないのですが、それでも(１)がいえるのでしょうか？