数列の問題

質問

(1)2以上の整数nに対し
1/1・2・3＋1/2・3・4＋1/3・4・5＋・・・・・＋1/(n-1)・n・(n＋1）
を求めよ。
(2)任意の正の整数nに対し
1/1(3)＋1/2(3)＋1/3(3)＋・・・・・＋1/n(3)＜5/4
が成り立つことを示せ。
※(3)は3乗とする。

↑の問題を解いてみたのですが、(2)をどのように証明したらいいのかわかりません…。
もしよろしければ教えていただけませんか？
お願いします。

回答No.3

info22 · ベストアンサー

#2です。
(2)
1/n^3<1＜1/(n^3-n)=1/{(n-1)n(n+1)}
なので
Σ[k=1,n] 1/k^3=1+Σ[k=2,n] 1/k^3＜1+Σ[k=2,n] {1/(k-1)k(k+1)}
=1+(1/2)Σ[k=2,n] [{1/(k-1) -(1/k)} +{1/(k+1) -1/k}]
=1+(1/2)[{1-1/n}+{1/(n+1)-1/2}]=1+(1/2)-(1/4)-{(1/n)-1/(n+1)}
＜ 5/4

お礼

即答していただいたのに、お礼が遅くなってしまい申し訳ございません。

丁寧に教えて下さりありがとうございますm(__)m

もう１度自分で考えてみます。

回答No.4

ency

あれ…(2) を ANo3 info22さんが解いちゃいましたね。。。

ここって、以下のような削除規定があるので、丸投げの質問内容でも削除されないように誘導する意味で、ヒントだけ書いたんですけどね。。。

| 何らかの課題やレポートのテーマを記載し、ご自分の判断や不明点の説明もなく回答のみを求める質問はマナー違反であり、
| 課題内容を転載しているものは著作権の侵害となりますため質問削除となります。
| こういった質問対し回答する事も規約違反となりますのでご注意をお願いいたします。

いまさらですけど、「どこまでできて、どこからわからないのか」を質問してみるべきだったかなぁ～と。。。

# あ、こんなことを書いていると、この回答自体削除されるかな？
# それならそれで、構わないけど。。。

お礼

すみません（>_<）
実はパソコンに不慣れな受験生の妹に頼まれ私が打ちこんだのですが、急に頼まれたもので規約を隅々まで読むことを怠って登録してしまいました。
丁寧なご指摘ありがとうございます。
以後同じようなことがないように気をつけます。

ヒントもありがとうございましたm(__)m

回答No.2

info22

(1)
１/{(n-1)n(n＋1)}=(1/2){1/(n-1)-(1/n)}-(1/2){(1/n)-1/(n+1)}
と変形できます。
これを加え合わせれば次々項が消えて行き、初項と最後の項だけ
残り和が求まります。
結果を整理すると
(n-1)(n+2)/{4n(n+1)}
となります。

(2)
左辺の和は
(1/2)Ψ(2,n+1)+ζ(3)
となります。初等関数では表せないですね。
（Ψ関数、ζ関数がで表されます。）

お礼

即答していただいたのに、お礼が遅くなってしまい申し訳ございません。

教えて下さりありがとうございましたm(__)m

回答No.1

ency

とりあえず、ヒントだけ。

(1) の式と (2) の左辺を比べてみて、1/(n-1)n(n+1) と 1/n^3 が対応していると考えられるかどうかが、この問題のポイントですね。

で、『1/k^3 < 1/(k-1)k(k+1)』なので (この証明は簡単にできますよね)、k=1, ..., n まで各項を足すと

1/2^3 + 1/3^3 + …… + 1/n^3 < 1/1・2・3 + 1/2・3・4 + …… 1/(n-1)n(n+1)

さらに両辺に 1 を足して…あとはご自分でやってみてください。

お礼

即答していただいたのに、お礼が遅くなってしまい申し訳ございません。

ヒントを参考に考えてみます。

ありがとうございましたm(__)m