存在条件

質問

3u^3+9u^2+2(a+3)u+2a=0 かつ 3u^2+6u+2a<0
をみたす実数uが存在するためのaの条件を求めたいのですが
前者を満たすようなuはaによらず存在する
したがって後者の条件のみを考え、
3(u+1)^2-3<-2a
より
-3<-2a
∴a<3/2
とするのは論理的に正しいでしょうか
因みに最終的な答えはこれであっています
ご教授お願いします

回答No.2

WiredLogic · ベストアンサー

問題点は、

＞3u^3+9u^2+2(a+3)u+2a=0 かつ 3u^2+6u+2a<0
＞前者を満たすようなuはaによらず存在する

「前者」の左辺=f(u)とします。

質問では、端折ってますが、そこで言いたいのは、
f(u)は、uの３次関数だから、係数によらず、
どこかでf(u)=0になる、という意味ですよね？
それ自体は、全くその通りです。
ただし、前者単独の話であれば…

この場合、後者の不等式も満たさないとならず、
その範囲内で、本当にf(u)=0になれるのか、を、
チェックしないと、議論は不十分です。

3u^2 + 6u + 2a < 0 を満たすuが存在するのは、
a<3/2のとき、ここは全く問題がないので、
先へ進むと、そのときの、uのとりうる値の範囲は、
-1 - √(1-2a/3) < u < -1 + √(1-2a/3)
になります。ここで…

f(-1 - √(1-2a/3)) と f(-1 + √(1-2a/3)) が
異符号であることが言えれば、中間値の定理から、
この範囲内に、f(u)=0となるuがあることが言えます。
そこをチェックしてみてください。

ついでですが、そのときに、
f(u)=3(u+1)^3 + (2a-7)(u+1) + 4と、
(u+1)の式に変形しておくと、計算は楽です。

お礼

ご回答ありがとうございます
論理に自信がない理由がはっきりしました

＞f(-1 - √(1-2a/3)) と f(-1 + √(1-2a/3)) が
異符号であることが言えれば、中間値の定理から、
この範囲内に、f(u)=0となるuがあることが言えます。

異符号であれば確かに中間値の定理からそれは言えますね
ですが3次関数の場合同符号でもその範囲で交わる可能性が残るので
やはり少々めんどくさくもなりそうです

とても参考になりました
お二方をベストアンサーに選びたい気持ちもあるのですがそういうわけにも
行かないので、より問題の核心がわかったNo2様の方をベストアンサーに
選ばせていただきたいと思います
本当にありがとうございました

回答No.1

mister_moonlight

答えは　偶然合ってるが、途中の推論は全く駄目。肝心なところを誤魔化している。

＞前者を満たすようなuはaによらず存在する

これが　何故いえるのか？

3x^3+9x^2+2(a+3)x+2a=0 ‥‥(1)、 3x^2+6x+2a<0　‥‥(2)
(1)より　2a(x+1)＝-3x＾3-9x＾2-6x　‥‥(3)となる。
x+1＝0の時　0＝0から常に成立。
x+1≠0の時　(3)を(2)に代入すると、(x+1)＜0だから、x+1＜0の条件で、3x^2+6x+2a<0　‥‥(2)　が常にも成立すると良い。2a<-3(x+1)＾2＋3　より　0＜3(x+1)＾2＜3-2a　つまり　0＜3-2a。

お礼

ご回答ありがとうございます
少し論理に自信がありませんでしたが、やはり間違っていましたか

＞前者を満たすようなuはaによらず存在する
これについては3次関数はかならずx軸と交わるという意味で使っています
ですがNo2様の仰るとおり、それが3x^2+6x+2a<0をみたすuの範囲に入っているかは
不明ですね

とても参考になりました
ありがとうございます