べき乗についてお願いします。

質問

ついさっき初めてべき乗を知ったのですが、
8260＾0.7147＝630.18149になります。
これは8260に対いて何をすれば630.18149になるのですか？

詳しくよろしくお願いします。

回答No.2

chie65536（@chie65535） · ベストアンサー

＞これは8260に対いて何をすれば630.18149になるのですか？

8260同士を0.7147回、掛け算すると、630.18149になります。

「0.7147回掛け算って何？」って思うでしょう？

べき乗では「y＝ｘのｎ乗」の時「ｙの１/ｎ乗＝ｘ」と言うのが成り立ちます（というか、昔の数学者が、そうする事に決めました）

4＝２の２乗の時、４の１/2乗＝２、なのです。「1/2」ってのは0.5ですから、言い換えれば

４の0.5乗＝２

って事です。これは「√４」と同じです。

「４同士を1/2回、掛け算すると２になる」「２同士を２回、掛け算すると４になる」なのですね。

これで「1/2回、掛け算」のイメージが掴めたのではないかと思います。

「0.5回」も「0.7147回」も「たいして違わない」でしょう？「1、2、3…と言う、自然数じゃないのはどっちも同じ」ですから。

そういう訳で、630.18149を1/0.7147乗すると、8260になります。

1/0.7147は約1.4ですから、630.18149同士を1.4回くらい掛け算すると8260になります。

お礼

バカな私でも解りやすいようにしてくださって、ありがとうございます。
じっくり読んでひとつづつ理解しようと思います。

ご回答ありがとうございます。

回答No.6

hugen

１年で、８２６０倍になる量がある。
３年では、８２６０×８２６０×８２６０＝８２６０^３ 倍
□年では、８２６０^□ 倍
0.7147年では、８２６０^0.7147 倍
0.7147年=7147/10000年
1/10000年で、r倍に成るとすると
１年で、r^10000 倍=８２６０倍
r=[10000]√8260=1.0009023248369848425528039072577
0.7147年で、
８２６０^0.7147 倍＝r^7147=630.18148579953949767124760933878

お礼

いろいろな考え方があって、おもしろいですね！

ご回答ありがとうございます。

回答No.5

WiredLogic

原理的な部分は、他の皆さんが説明してらっしゃいますが…

こういう、マイナスの数乗や、小数乗などは、
学校の数学なら、高２の数学(「数学II」)の教科書に載っています。
#1さんが回答でふれてらっしゃる「対数」も同じところ、
「指数関数と対数関数」という章に書いてあります。

ただ、対数を使う場合は、対数表というものを使わないといけない、
対数表に書いてある対数の値は、今なら、コンピュータとかが
計算してくれますが、昔は、人の手で計算して作っていた、
コンピュータに計算させるにしても、どう計算する、という手順は、
人が示してやらないといけない、

勿論、質問の「8260＾0.7147＝630.18149」にしても、
関数電卓(文房具屋さん・電気屋さんで、売っていて、
値段は千円くらいから、Windowsなら、電卓を起動し、
「表示」⇒「関数電卓」にする)や、Excelに計算させれば、
出てきますが、その内部では、やはり、何らかの計算をしている、
どうやっているのか、に興味があれば…

例えば、割り算をやるには、割り算の手順、というのがあって、
足し算・引き算・掛け算ができれば、手順通りにやると、
答が出せるようになっていますが、こういう計算手順のことを、
「アルゴリズム」といいます。

平方根も、学校では教わらないことが多いと思いますが、教科書や
参考書の余談の部分や、学生・一般人が趣味で読む、簡単な数学の
本に、その「アルゴリズム」が載っていることがあります。
おおざっぱにいうと、割り算を、何倍か、複雑にしたような程度の、
足し算・引き算・掛け算・割り算を組み合わせたようなもので、
手計算も十分に可能、今でもできる人はそれなりにいます。

立方根(x^3=いくらのxを求める)についても、さらに面倒になりますが、
やはり「アルゴリズム」があり、今でも、算盤の何段の検定試験では、
これ計算する問題が出ます。(さすがに、普通の人にはいないでしょう^^)

この流れで、10乗根(x^10=いくらのxを求める)あたりまでは、
江戸時代から、算盤で計算する「アルゴリズム」があって、
このへんになると、奥義・秘伝の部類になりますが、それでも、
一般生活と無縁でなく、今でいうと、クレジットの分割払いの
１回に払う金額の計算のような形で使われていました。

実は、理系の大学１年程度の数学(微積分という分野になります)を
使うと、こういう秘伝・奥義という形でなく、普通に、対数や質問
のような計算、何乗根や三角関数などを、足し算・引き算・掛け算・
割り算だけで、求めるような式を作ることができて、それで、計算
することができます。勿論、こういう数は、ピッタリの数にはなり
ませんが、そこんところは、割り算で、割り切れない場合に、必要
に応じて、どこかで計算を打ち切って、四捨五入してどれくらい、
とやるのと、同じような形で対応しますし、面倒・複雑なところは
ありますが、実際にも、やっているのはほとんど同じようなことです。

昔の人は、そういうものを使って、手計算で、高校・大学(あ、中学
にも平方根表があったか^^)の教科書の後ろについている、数表、と
いう奴を作っていましたし、今の電卓やコンピュータも、実際には、
高速・高精度に計算するために、工夫が加えられているところもあり
ますが、基本的には、それで作った式で計算しています。

円周率を求める話でも、手計算で、何十桁・何百桁求めていた頃は、
この方式で出した式の応用バージョン、最近の何億桁求める話になると、
高速化やPC向きの式にするため、式の出どころが違ってきますが、
やはり、こういう単純な計算の(大量・複雑な^^)組み合わせの形にして
計算している訳です。

数学を勉強するとき、こういうことが知りたい、という切り口があると、
それでよく理解できるというのもよくあることなので、質問者さんが、
高１以下で、これから、指数・対数などを、勉強していく、または、
学生時代は苦手だったけど、少し復習してみたいと思っている場合に、
こういうところが、切り口になると、いいなと思って、基本の考えかた
だけですが、長々と書いてしまいました。

お礼

一応社会人なのですが疑問に思って興味を持ったので質問してみました(^^)
ためになるお話ありがとうございます。

いろいろ忘れてるので勉強しなおしてみようかな・・・

回答No.4

chie65536（@chie65535）

もっと簡単に考える事も出来ます。

「数字の桁数」と「１０のｎ乗」の関係を考えてみます。

１０＝１０の１乗
１００＝１０の２乗
１０００＝１０の３乗
１００００＝１０の４乗

どうです？「０の数」と「乗数」が一致してませんか？

では、１０の０乗は幾つでしょう？

０の数が０個、です。

そう。答えは「１」です。上のリストに１行足すと

１＝１０の０乗
１０＝１０の１乗
１００＝１０の２乗
１０００＝１０の３乗
１００００＝１０の４乗

になります。

では、０乗と１乗の間は、どうなるでしょう？

例えば、０．５乗。

１＝１０の０乗
？＝１０の０．５乗
１０＝１０の１乗
１００＝１０の２乗
１０００＝１０の３乗
１００００＝１０の４乗

１０を０．５乗するとｘになる、は、ｘを２乗すると１０になる、です。

つまり、ｘ同士を２回掛け算して１０になる値がｘです。

幾つになるかは、昔の数学者が、努力と根性で求めました。

３を２乗すると９、４を２乗だと１６。答えは３と４の間。

３．１を２乗すると９．６１、３．２を２乗だと１０．２４.答えは３．１と３．２の間。

って感じで、延々と掛け算を繰り返し、少しずつ範囲を絞って「だいたい、3.162277660くらい」ってのを探していったのです。

このように「１０の０．５乗はだいたい3.162277660くらい」って事になった訳です。

1.5乗はどうするかと言うと「ｎ乗のｍ乗はｎ×ｍ乗」を使います。

「２乗の２乗」は「（２×２）乗」で「４乗」、「２乗の３乗」は「（２×３）乗」で「６乗」です。

1.5は「3/2」なので「３×1/2」ですから「３乗の1/2乗」って感じで考えます。

1/2乗の計算方法は「幾つを２乗すれば良いか？」で計算できますから、先ほどと同じです。

「ｘの1.3乗」とかハンパな乗数の場合は「ｘのｎ乗　×　ｘのｍ乗　＝　ｘの（ｎ＋ｍ）乗」で求める事が出来ます。ｎとｍが「計算しやすい値」になっていれば良いですから。

回答No.3

saisho_wa_goo

もっともっと簡単に分かりやすく説明するとなると．．．

8260^3 = 8260*8260*8260 = 563559976000
8260^2 = 8260*8260 = 68227600
8260^1 = 8260 = 8260
8260^0 = なし = 1
8260^(-1) = 1/8260 ≒ 0.000121065375302663
8260^(-2) = 1/(8260*8260) ≒ 0.0000000146568250971748
8260^(-3) = 1/(8260*8260*8260) ≒ 0.00000000000177443403113496
　　～～～
8260^(-∞) = 0

で、上の並びの ^1 と ^0 の間
8260^0.7147（8260の0.7147乗）= 8260を0.7147回掛け合せる ≒ 630.18149

整数だけじゃなく 「少数にまで拡張すると」 こうなるということです。

お礼

やっぱり難しいです。
バカですいません(>_<)

数学ってホント奥が深いですね。

ご回答ありがとうございます。

回答No.1

rnakamra

8260^0.7147
この数字を10000乗すると8260^7147になります。
(8260^0.7147)^10000=8260^(0.7147*10000)=8260^7147

つまり、8260^0.7147とは8260^7147の10000乗根を意味します。

この計算は非常に困難であるため、通常は対数を用いて計算します。
10を底とした対数をとると
log8260^0.7147=0.7147*log8260=0.7147*(2log2+log5+log7+log5.9+1)
log2,log5,log7,log5.9の値を対数表で調べ上の式の値を求めます。
(ここでは関数電卓で求めた値を使わせてもらいます)
すると
log8260^0.7147=2.797
となります。
つまり
8260^0.7147=10^2.797=10^2*10^0.797
10^2=100で10^0.797の値は対数表を使い得ることができます。

お礼

難しい・・・理解するにはいろいろな知識が必要みたいですね。

ご回答ありがとうございます。