べき乗表現と多項式表現

質問

すいません。
べき乗表現と多項式表現の関係がわかりません。
例えば
0000 -> 0(べき乗) -> 0(多項式),
0001 -> 1(べき乗) -> 1(多項式),
0010 -> α(べき乗) -> α(多項式),
0011 -> α~2(べき乗) -> α~2(多項式),
0100 -> α^3(べき乗) -> α~3(多項式),
0101 -> α~4(べき乗) -> α~3+1(多項式),

ここでなぜ、0101がα~3+1になるのでしょう？
であれば、0011はα+1ではないのでしょうか？
また、さらに0110がα~5(べき乗)の時、
なぜ、α~3+α+1になるのでしょう？

理屈を教えてください。

回答No.2

adinat · ベストアンサー

有限体の拡大理論の話です。情報理論系の本を参照されるのが一番とは思いますが。

まずすべて3次以下の多項式表現を考えていること、4桁の2進数を考えていることは
次の方程式：x^4+x+1=0をZ/2Z={0,1}上で考えていることから来ています。
つまりZ/2Z上の多項式環を既約多項式x^4+x+1で割った4次の拡大体を考えるのです。

演算は普通にZ/2Z上の多項式環の演算ですが、x^4+x+1=0という約束がありますから、
かならず3次以下の多項式に変形することができます。
もう少し詳しく言うと、Z/2Zの4次拡大体をGF(2^4)と書くとき、
GF(2^4)の元は3次以下の多項式16個、
0,1,α,α+1,α^2,α^2+1,α^2+α,α^2+α+1,
α^3,α^3+1,α^3+α,,α^3+α+1,α^3+α^2,α^3+α^2+1,α^3+α^2+α,α^3+α^2+α+1
からなる体のことです。

さてべき乗表現と多項式表現の対応を見るには、x^4+x+1=0に気をつけるだけです。
3次以下の多項式はそのままですから放置して、
0101 -> α^4=-α-1=α+1
となります。Z/2Zなので-1=1に注意してください。同様に、
0110 -> α^5=-α^2-α=α^2+α
0111 -> α^6=-α^3-α^2=α^3+α^2
1000 -> α^7=-α^4-α^3=α^4+α^3=(α+1)+α^3=α^3+α+1
などとなります。α^15まで計算すると上の3次以下の多項式がすべて
出てくることに確認してみてください。

なお大事な注意ですが、多項式表現は別の既約多項式を用いて
表すと異なる表示になりうることです。
大抵x^n+x+1のタイプの多項式は既約になるのでこれを用いる
ことが多いのではないかと思われます。
詳しいことは僕は知らないので調べてください。

それから二進表記のまま通常の演算を考えると頭が混乱するので
避けてください。
あくまでべき乗表現、あるいは多項式表現で演算を考えるべきです。
べき乗表現は積の計算に大変便利な表記で、たとえば
α^4×α^3=α^7
などとなります。多項式表現のまま積の計算も出来ますが、
多項式表現はどちらかというと和の計算に便利です。
Z/2Z上で考えているので、2=0に注意して、たとえば
(α^3+α+1)+(α^3+α^2+1)=α^2+α
といった感じです。

検索では下記ページぐらいしか見つけられませんでしたが、
参考にはなるかと思います。

参考URL：

http://www.ccad.sccs.chukyo-u.ac.jp/~mito/syllabi/daisu/fext/index.htm

お礼

お礼おそくなり、大変失礼いたしました。
ありがとうございました。

回答No.1

oyaoya65

質問者さんの説明だけでは回答することが難しいですね。

どういった分野（領域）の範囲での質問か、質問の背景の説明を書いて頂かないと、質問の内容が理解できません。

４桁の２進数が何を表す、あるいはどんなところで使われるものなのか、どのように導出されたものなのか、などの背景の説明をお書きになってください。

補足

失礼しました。
特に、4桁にこだわったわけではないのですが、
ある書に一例として表としてのっていました。
Read-Solomonについて勉強したいと思い、
まずこの辺りの表現の理屈を覚えようと思いました。

これでよろしいでしょうか?
ぜひマスターしたいので、よろしくおねがいします。