物理量に対数をとると無次元量になる理由

質問

実験結果などを解析する際に、絶対温度T[K]や時間t[sec.]などに自然対数をとることがあります。
例えば、ln Tやln tとしますが、これらの単位はありません(無次元)。以前から気になっていたのですが、なぜ対数をとると無次元量になるのでしょうか？
ご存知の方、教えてください。よろしくお願いします。

回答No.3

nikorin · ベストアンサー

単位のついている量の対数はとれません。
ln (1+x)=x-x^2/2+x^3/3-x^4/4+x^5/5+・・・
という公式からわかるよう、xに単位がついているとすると
右辺は意味を持たなくなります。（次元の異なる量を
足し合わせることは無意味。）

もしln Tやln tという記述が本当にあるならば、それは
ln(T[K]/1[K])やln(t[sec]/1[sec])というように
単位量で割った値の対数をとっていると理解すべきと思います。
すなわち、もとから無次元量の対数をとっているのです。

お礼

ご回答ありがとうございます。
なるほど！無次元量しか対数はとれないのですね。大変分かりやすいご回答でよく理解できました。

回答No.4

hagiwara_m

まず、nikorinさんのおっしゃるとおり、単位の任意性をもつ物理量の対数を計算することはできません（例えば、eを何乗しても１秒という量にはならない）。対数や指数や三角関数などの関数の引数となる変数は、物理量を物理量で割った式（例えば(E/(kT)）になっており、その割り算の結果が無次元になります。この結果に対して例えばln(E/(kT)）などが計算される訳です。対数をとったから無次元になるのではなく、無次元量にしてからしか対数が計算できないと捉えた方がいいです。

単位の大きさは人間の都合で決められます。ところが、自然法則は人間の都合と無関係に決まっているもので、それを表わす式の形は、単位の大きさに無関係のはずです。このとき許される各物理量の関数は、同次関数（べき乗関数）に限られてしまいます。それ以外（対数や指数や三角関数など）の非同次の関数は、単位量のスケールの選び方によって、相似性が保たれず、性格が変わってしまうのです。

ただし、特定の単位で表現したときにのみ成立つ、物理量の式というのもないわけではありません。このときは、単位の任意性はなく、その式中に単位が明示される形になっているはずです。例えば対数計算であれば、ln(t/秒) のような形で計算される訳です。ただ、困ったことに、このような場合の分母の基準量の表示が省略されている表現をまれに見かけます。自分で単位量の指定を見抜き、補っておくことが、誤りを防ぐ意味からも望ましいと思います。

実験結果を対数グラフに書くときは、値そのものはいいじらずに、図形上で変形して描くという立場です。軸上の数字は、対数をとる前の値を示して下さい。電卓などで、対数値を計算して処理するときは、単位の大きさの選び方によって計算結果が変わることに注意して下さい。

お礼

大変詳しい説明でよく分かりました。ありがとうございました。

回答No.2

sanori

誰かが最初から「対数は無次元だ」という前提を決めていたわけではありません。
微分方程式とかを解くと、その答えが自然とそうなるからです。

つまり、微分方程式の解の中に指数関数が出てくると、指数関数の「べき」（指数）のところは、結果的に必ず、無次元になってしまいます。

説明をはしょってますが、指数関数の形の解は、微分方程式を解く途中で、簡単のために式の中から対数関数を消去した時に現れたりします。

例えば、簡単な遅延回路の時定数τなんかは、抵抗ＲとＣの積です。これは微分方程式の解を簡明に表記するためのギリシャ文字です。

微分方程式の形とか、解く過程は示しませんが、
解いた結果、解の中には
ｅの（－ｔ／（ＲＣ））乗
という形が出現します。

ここでτ＝ＲＣと定義しておけば
ｅの（－ｔ／τ乗）
という単純な表記になりますね。

さあ、ここで
Ｒの単位（次元）は、Ω＝Ｖ／Ａ
Ｃの単位（次元）は、Ｃ（クーロン）÷Ｖ＝Ａ・sec／Ｖ
ですね。すると、
ＲとＣの積の単位（次元）は、あら不思議、
sec（時間）になります。
ですから、べき のところの次元は結局、無次元になります。

だから、τ（＝ＲＣ）のことを、みんな「時定数」って呼ぶんですね。

熱力学で出てくるＴ[K]のことは、長くなるので書きませんが、いきさつは同じようなことです。

なお、物理学以外の世界であれば、次元のある対数関数を論じることも、あり ではないんでしょうか。

純粋な物理学の世界での有次元の対数は、私の知識が乏しいせいかわかりませんが、聞いたことがないです。

ただ、流体力学とかだと、へんな経験式が一杯出てきて、面食らった思い出があります。

お礼

ご回答ありがとうございます。
確かに流体力学や伝熱工学は経験則がたくさん出てきますね。今まさにその実験をやっています。
最近、対数を扱うことが多いのでなぜ対数が無次元になるのか疑問に思っていました。

回答No.1

noname#7289

指数だからではないでしょうか？
そもそも、10^10 molあっても、log10^10は10です。だから、10の後につける単位がないんです。もし、次元があれば、10mol^10molだとして、意味が通じません。10の10乗モルが、10モルの10乗モルって・・・
ってなってしまうからではないですか？

お礼

ご回答ありがとうございました。