ここがわかりませんでした。

質問

Ｅ＝mc^2(1+v＾2/ｃ^2)^1/2
≒mc^2+(1/2)mv＾2

1行目から2行目に変形できるらしいのですが、どうするのかわかりません。
どなたかわかる人がいたらわかりやすく教えてくれませんか。

回答No.2

gtmrk · ベストアンサー

質問者様の種々の質問から拝察しますと、
相対論関係の本をお読みのようですね？

これは数学というよりはある物理量の定義ありきの近似なので、
この式だけではどうにもこうにも。
一応余計なことは抜きにして変形だけ解説します。
これは、近似式

　　(1 + M)^n = 1 + nM　　（ただし M ≪ 1）

というのを使っています。
これはNo.1の方のおっしゃる通り【マクローリン展開】から
得られる近似式なのですが、
物理の計算においてこの形はとてもよく使うので
覚えておくとよいと思います。
これを使って mc2 にかかる部分を展開すると、

　　(1 + (v/c)2)^(1/2)
　　≒ 1 + (1/2)*(v/c)2

となって、目的の式が得られます。
ただし、v が c に比べて十分小さい、すなわち

　　v ≪ c
　　⇔ v/c ≪ 1

という仮定の下に成り立っていますのでご注意下さい。
速度 v が光速 c に比べて遅い系は
ニュートン力学で記述できるということですね。
でもこの形、なんなんですかね。普通は

　　E = mc2γ = mc2 / √(1-(v/ｃ)2)

と書くはずですが。
まあ板違いなのでやめておきましょう。

お礼

わかりやすい説明をありがとうございました。
いま大学で相対論を習っているのですが、学力が低くて困っているのです。

回答No.3

noname#185374

すでに適切な回答がありますが，
|x| << 1 に対しては
(1+x)^(1/2) ≒ 1+(1/2)x　　(*)
となることを簡単に示しておきます。

|x| << 1 であれば (1+x)^(1/2) は 1 に近い数であるはずです．そこで
|y| << 1 を使って
(1+x)^(1/2) = 1+y
と表します．この両辺を２乗すると
1+x = 1+2y+y^2
となりますが， |y| << 1 なので右辺で y^2 << |2y|．よって y^2 の項を無視することにより
1+x ≒ 1+2y．
これから
y ≒ (1/2)x
が得られ，結局，上記の(*)式が成り立ちます。

お礼

ありがとうございました！

回答No.1

Tacosan

テーラー展開でもマクローリン展開でもお望みの方をどうぞ.