不定積分の問題です

質問

不定積分を求める問題でわからないところがあったので教えてください。
どのようにして求めればいいのでしょうか？
よろしくお願いします。

[x√(1-x)]

[(x^3+x)√(1+x^2)]

[(2x+3)√(2x+1)]

回答No.1

meiv · ベストアンサー

私も試験勉強中の身なので問題の完全解答は出来ませんが、一番最初の問題を例にとれば、「1-x=tとおく」という置換積分法を使えば出来ますよ。

途中まで式を書けば、

∫x√(1-x) …※1-x=tとおく
　　　　　　 　∴t=1-t、また、
　　　　　　 　dt/dx=d(1-x)/dx=-1より
　　　　　　　 dx=-dtと置きかえることが出来るので

=∫(1-t)√t・(-dt) …※(1-t)√tを展開すれば
=-{∫(√t-t√t)dt} …※∫(√t-t√t)dtの部分を展開すれば
=-(∫√tdt-∫t√tdt)

これで√t=t^1/2、t√t=^3/2とおけば、積分できるかたちになりますよ！このかたちで積分したら、あとはt=1-xより、tの部分を(1-x)と置きかえて答えです。

解答までは出来ませんが、道標としては
『ルートの中身をtと置いて置換積分する」です。
これで多分出来ると思いますが、間違っていたら、他の方、ご指摘お願いします（>_<;）

それでは、勉強頑張って下さいね！

回答No.3

noname#6587

こんにちは、老化対策として、考えてみました。

1. [x√(1-x)]
(1-x) を u と置くと、dx=-du となる。
x√(1-x) = (1-u)√(u) = u^(1/2) - u^(3/2)
これなら積分できるのでは?
もちろん最後に u から x に戻してください。

2. [(x^3+x)√(1+x^2)]

=x(1+x^2)^(3/2) だから、そのまま積分できそうですね。

(1+x^2)^(5/2) を微分してみたら、、、。

3. [(2x+3)√(2x+1)]

=(2x+1)^(3/2) + 2(2x+1)^(1/2)

老化対策にもならないほど、、、でした。

回答No.2

meiv

ごめんなさい!!

下の式の、一番最初の※のところにある「∴t=1-t」の部分、本当は「x=1-t」です!!!

間違えてしまって、すいません…；