次の方程式に出て来る「kの値」はどうなりますか。

質問

数学が判りません。次の方程式、x＋y－z=x*2＋y*2－z*2=kの時、kの値を求めるとどうなりますか。
(*は乗数「べきの数」です)。

回答No.6

info22_ · ベストアンサー

aのb乗は「a^b」と書くようにして下さい。

x＋y－z=x^2＋y^2-z^2 …(1)
これは標準形に直すと
(x-(1/2))^2+(y-(1/2))^2-(z-(1/2))^2=(1/2)^2 …(1)'
で一葉双曲面と呼ぶ２次曲面の１つです。
この曲面と平面
　x＋y-z=k …(2)
の交線（曲線）上のすべての点(x,y,z)に対して(2)から実数kが１つ定まります。
言い換えれば1つのkを与えれば(1)',(2)を満たす実数の組み(x,y,z)が交線上の点の集まりとして得られます。つまり交線上の点は無数にあるので一意には確定しません。
一葉双曲面(1)'(水色)と平面(2)(紫色、上からk=-1,1/2,2)の３次元プロットした図を添付します。図から(1)'と平面(2)が交わり交線を持つことがわかるでしょう。

(1)'から (x-(1/2))^2+(y-(1/2))^2=(1/2)^2+(z-(1/2))^2≧(1/2)^2
したがって
例えばx,yを
(x-(1/2))^2+(y-(1/2))^2≧(1/2)^2
を満たす範囲で自由に決めてやることができ（自由度２）、
zは(2)式からとの関係で決まります。
例1) x=1/2,y=3/2,z=2-k
　 z=3/2と決めれば k=1/2　　（注１）A#1のkの範囲外のkであることに注意
　 z=1と決めれば k=-1　　　（注２）A#3のkの範囲外のkであることに注意

と決まります。

x,zまたはy,zを先に決めることも出来ます。
(1)'を満たすようにx,zを自由に決めやることができ（自由度２）、
(1)'からyが決まり、(2)からkが求まります。

例2) x=0,z=1/2とすれば(1)'からy=1/2,(2)から k=0
と決まります。

参考URL：

http://ja.wikipedia.org/wiki/双曲面

お礼

上の補足の通り、その後「自分で解決致しました」。本当にどうも有難うございました。

補足

色々と御説明を有難うございました。やはり理系の方は違う。本当に良く勉強している。実は他サイトの職業回答役マスコミ人から今で4年3ケ月も出版妨害の被害に遭っているのです。犯罪被害そのものとしては「昨年10月末で終わっているのですが」犯人逮捕に手間取りまして・・・。その点、本当の理系の方々は本当に優秀です。ただ「私個人としては」質問欄に書き込んだ後、自分で解決出来ました。(回答No.1に書き込んだ二番目の方程式は二番目の項の正負を逆に修正します)。どうも、有難うございました。

回答No.5

Tacosan

「変形すると」以降が何を言いたいのかわかりません.

「2つの方程式が同じ解をもつ」ということを言いたいんでしょうか? そうだとしても
・全く同じ解をもつ (つまり 2つの解がそれぞれ等しい)
・共通解をもつ (1つの解が同じならもう 1つは違っていてもいい)
のどちらであるかによって話が違ってきます.

あと, 係数として何を許すかということも問題になる. 有理数なのか実数なのか, はたまた複素数でもいいのか.

回答No.4

mister_moonlight

＞kの値を求める事が適切なのかどうか」改めて、お伺いしたいのです。

自分で書いてる意味が分かりますか？　もう一度、自分で書いた文章を読み直してください。意味不明です。
私には、読解　も　理解　も不能です。

回答No.3

noname#224896

【訂正】
相加平均・相乗平均を忘れてました．
====================================================
x^2＋y^2－z^2 +2(x＋y－z)-(x＋y－z)=0
x^2+2x+1-2x-1+y^2+2y+1-2y-1-(z^2+2z+1-2x-1)=x + y - z
(x+1)^2 + (y+1)^2 -(z+1)^2 )= 3x+1+3y-3y

(x+1)^2 + (y+1)^2 -(z+1)^2 = 3(x＋y－z)+1

(x+1)^2 + (y+1)^2 -(z+1)^2 = 3k+1

(x+1)^2 + (y+1)^2 =(z+1)^2+ 3k+1

x,y,z,kを実数とすると，
相加平均・相乗平均の関係より，
(x+1)^2 + (y+1)^2≧{(x+1)+(y+1)}/2

(z+1)^2+ 3k+1＝(x+1)^2 + (y+1)^2≧{(x+1)+(y+1)}/2
x+y+2≦2{(z+1)^2+ 3k+1}
x+y+2≦2z^2 + 4z +2 +6k+2
x+y-z≦2z^2 + 3z +2 +6k
x+y-z=kより，
2z^2 +3z +2 +5k≧０
2(z+3/4)^2 - 9/8+2+5k≧０
2(z+3/4)^2≧-5k +7/8
2(z+3/4)^2≧０より，
-5k +7/8≦０
5k-7/8≧０

5k≧7/8
k≧7/40　．．．(1)

(x+1)^2 + (y+1)^2≧０より，

(z+1)^2+ 3k+1≧０

(z+1)^2≧－3k-1
(z+1)^2≧０より，
－3k-1≦０
３ｋ＋１≧０
３ｋ≧－１
ｋ≧-1/3　．．．(2)

(1)，(2)を同時に満たすｋの値の範囲は，k≧7/40

∴ｋの取り得得る値の範囲は，k≧7/40である．　．．．（解答）

回答No.2

noname#224896

x^2＋y^2－z^2 +2(x＋y－z)-(x＋y－z)=0
x^2+2x+1-2x-1+y^2+2y+1-2y-1-(z^2+2z+1-2x-1)=x + y - z
(x+1)^2 + (y+1)^2 -(z+1)^2 )= 3x+1+3y-3y

(x+1)^2 + (y+1)^2 -(z+1)^2 = 3(x＋y－z)+1

(x+1)^2 + (y+1)^2 -(z+1)^2 = 3k+1

(x+1)^2 + (y+1)^2 =(z+1)^2+ 3k+1
x,y,z,kを実数とすると，
(x+1)^2 + (y+1)^2≧０より，

(z+1)^2+ 3k+1≧０

(z+1)^2≧－3k-1
(z+1)^2≧０より，
－3k-1≦０
３ｋ＋１≧０
３ｋ≧－１
ｋ≧-1/3

∴ｋの取り得得る値の範囲は，ｋ≧-1/3である．　．．．（解答）

回答No.1

mister_moonlight

x、y、z、k　は全て実数とする。
“実数解を持つための　kの値の範囲”なら求められるが、“kの値”は求められません。条件が不足しているから。
実数解を持つための　kの値の範囲なら、k≧1、or、k≦0.

補足

そうですか、求められませんか。では、質問の仕方を変えます。変形すると、k^2＋(2z－1)k－2xy=0となるんです。ところが、途中経過は省略しますが、k^2－(1－2x－2y)k＋2xy=0、とも変形出来るのです。この時「二次方程式の解の公式」を適用して、実部とルート内をそれぞれ比較して等価とみなして(ルートの前にプラス・マイナスの符合が二つ並び、片方だけを捨てる理由が無い為)、2z－1=1－2x－2y、(2z－1)^2＋8xy=(1－2x－2y)^2－8xy、の2式より、k=0またはk=2z－1との計算結果が出て来たのですが「私が質問したい事とは」二次方程式が２本並んだ時、ルートの中が綺麗に開かれる場合もあるのに「２次方程式ゆえに二つの値を取るだろうkの値について、k=実部＋ルート部についての単純な比較で、実部part1の値=実部pary2の値、且つルート内part1の値=ルート内part2の値として、kの値を求める事が適切なのかどうか」改めて、お伺いしたいのです。