半円周上の点が作る線分の最大値

質問

長さ２の線分ABを直径とする半円周上を点Pが動くとする。
√３AP＋PBが最大となるのはどのような場合か。また、その最大値を求めよ。

という問題です。
答えは（∠PABがπ/６の時、最大値４）です。
出来るだけ簡潔な解き方を教えて下さい。
どうして答えが導き出されるのか自分でも納得したいので、途中式もお願いします。

回答No.4

noname#224896

半円の円弧上を点Pが動くので，
常に∠APB＝π／２が成り立ちます．

∠PAB＝θ（０≦θ＜π／２）とおくと，
AP=２cosθ
PB=２sinθ
すると，
√３AP+PB
＝√３（４cosθ）＋４sinθ
＝２（√３cosθ＋sinθ）　．．．(1)
となる．
ここで，三角関数の合成公式を使うと，(1)式は，次のようになる．

２・√{（√３）^2 ＋(１)^2｝sin(θ＋α)　．．．(2)
αは，
sinα＝√３／２
cosα＝１／２
を同時に満たすものである．
つまり，α＝π／３

よって，(2)式は，次のようになる．
２・２sin(θ＋π／３)
＝４sin(θ＋π／３)
つまり，
√３AP＋PB＝４sin(θ＋π／３)
０≦θ＜π／２ より，

√３AP＋PBの最大値は，４であり，
それは，θ＋π／３＝π／２
すなわち，θ＝π／６の時である．

∴　√３AP+PBは，
∠PAB＝π／６のとき，最大値は４をとる．　．．．（解答）
----------------------------------------------------
以上です．

回答No.3

oo14

式もなにもくそもへったくれもないのでは。
だって、直径が２なんだから、残りの各辺の２乗の和は４
（答えの最大値が４てのが意味不明だけど）
√４は２だけど。
自分の納得はほっといて、出題者の納得だけ考えるようにしましょう。
適当に式を作って話を合わせれば、よろしい。

回答No.2

spring135

直径上の円周角APBは直角ということを使います。
∠PAB=tとすると
√３AP＋PB=√３*2sint＋2cost=4((√３/2)sint+(1/2)cost)
=4sin(t+π/3)
これは単振動の合成という方法ですが
加法定理を知っていれば4sin(t+π/3)を展開すればわかります。
sin(t+π/3)は(t+π/3)＝π/2
のとき最大値1をとります。
その時
t=π/2-π/3＝π/6

回答No.1

Tacosan

コーシーの不等式から AP:PB = √3:1 なので ∠PAB = π/6.