中２の数学・・・＊早めにお願いします。

質問

直線の式　グラフの交点で、

グラフの傾きが３で点（2,9）を通る

グラフが点（1,2）と点（2,8）を通る

↑これはどういうことでしょうか・・・・これに対しての要点もお願いします。

次のグラフ同士の交点を求めて座標で答えるということも教えてください。
これにも要点やポイントを教えてください。

現役中２ですが・・・・先生の言っている意味が全くわかりません・・・（泣

よろしくお願いします！

回答No.3

somethinghot · ベストアンサー

文章だけでどれだけ理解してもらうことが出来るのか、興味がわきました。完全理解を目指しちょっと回り道しますが、読んでみてください。

(1)　「１個３０円のお菓子があります。Ｘ個買うと代金はＹ円になりました。」
このとき、Ｙを求める式を作ると「Ｙ＝３０Ｘ」になります。
Ｘ（買ったお菓子の個数）が分かればＹ（代金）が分かりますし、ＹがわかればＸを求めることも出来ます。
このようにどちらかの数字が分かれば、もう一方の数字も計算で分かることを「関数」と言います。上の例は中１で習った「比例」です。今回は３０円のお菓子としましたが、問題によってその数字は変わるので「ａ」の文字を当てて「Ｙ＝ａＸ」を比例の基本式と捉えましょう。

では、条件を少し変えます。
(2)　「１個３０円のお菓子があります。Ｘ個買って、５０円の箱に入れてもらうとＹ円になりました。」
同じようにＹを求める式を作ると「Ｙ＝３０Ｘ＋50」となります。さっきの式に「＋５０」がくっつきました。でも、Ｘが分かればＹがわかり、ＹがわかればＸがわかるのは変わりありませんよね。つまり、これも「関数」なのです。基本式にするなら「Ｙ＝ａＸ＋ｂ」となります。このような式になる関数を「一次関数」と呼ぶわけです。

この「Ｙ＝ａＸ＋ｂ」に注目してください。一見すると、４つの文字ですが、XとＹ、ａとｂ、では性質が異なります。
ＸとＹはいろいろなセットが考えられます。セットを（Ｘ，Ｙ）で書いてゆくと、(2)の例であれば、（1，80）（2，110）のように無限につくってゆけます。ですから、この二つを「変数」というのです。
ａとｂはどうでしょう。これはａ＝30、ｂ＝50と決まってしまえば、問題が変わらない限り、この数字を使ってゆきます。ですので、これを「定数」とよびます。一次関数の場合、ａを「傾き」や「変化の割合」、ｂを「切片」という名前で呼びます。

ここまでが問題を解くための前提です。長くなったので、ポイントをまとめましょう。
ポイントI：　Ｙ＝ａX＋ｂ　が一次関数の基本式である。
ポイントII：　ａ＝傾き＝変化の割合、ｂ＝切片　とよぶ。
ポイントIII：　XとYはいろいろな数字をあてはめることができるが、かならず組み合わせとなる（片方が決まればもう片方も決まる）

では、問題です。
「グラフの傾きが３で、点（２，９）を通る（。このときの直線の式を求めよ）」
質問で省略されている箇所を付け足してしまいました。「直線の式を求める」とはＹ＝ａＸ＋ｂの「ａ」と「ｂ」の数字を求めよということです。ですから、Ｙ＝ａＸ＋ｂから考え始めます。
　Ｙ＝ａＸ＋ｂ　「ａ」と「ｂ」どちらの方が先に求められるでしょうか？もう、わかりますよね。問題に「傾きが３」とあるのですから、「ａ＝３」です。ａを傾きと呼ぶことをおぼえていれば、答えが書いてあるようなもの。楽勝です。
　Ｙ＝3Ｘ＋ｂ　ここまでわかりました。次にｂを求めてみましょう。問題に「点（２，９）を通る」とありますね。これはＸとＹのセットですから、Ｙ＝３Ｘ＋ｂに代入してみると、９＝３×２＋ｂとなります。分からない数字がｂだけですから、方程式の要領で解けば、ｂ＝３となります。「ａ」も「ｂ」もこれで数字が分かりました。
　Ｙ＝3Ｘ＋3　これが答えです。

「グラフが点（1，2）と点（2，8）を通る（。このときの直線の式を求めよ）」
さっきの問題との違いは最初から「ａ」や「ｂ」の数字がわからない、ということです。
こんな時は（1，2）と（2，8）を基本式に代入しちゃいましょう。
　Ｙ＝ａＸ＋ｂに（1，2）を代入　→　２＝ａ×１＋ｂ　→　２＝ａ＋ｂ
　Ｙ＝ａＸ＋ｂに（2，8）を代入　→　８＝ａ×２＋ｂ　→　８＝2ａ＋ｂ
「ａ」も「ｂ」も分からないけど、「ａ」と「ｂ」を用いた２つの式が出来ました。これって、連立方程式ですよね。
連立方程式で解いてみると、ａ＝6、ｂ＝-4、となります。「ａ」「ｂ」の両方とも数字が分かりました。
　Ｙ＝6Ｘ－４　これが答えです。

「グラフ同士の交点を求めよ」
　Ｙ＝3Ｘ＋3
　Ｙ＝6Ｘ－4
上で求めた2つの直線の式です。これは両方とも一次関数ですから（Ｘ，Ｙ）はそれぞれ無限に作り出せます。たとえば、Ｘ＝１としてみると、上の式なら（１，６）になりますし、下の式なら（1，2）となります。このときはＹの値は上の式と下の式で異なる数字となりましたが、（X，Ｙ）が上の式でも下の式でも同じ数字になるセットが一組だけあります。それがグラフだと「交点」となるところなのです。
XとＹが同じ数字になるなら、２番目の問題みたいに連立方程式が使えますよね。ここまでくれば答えは自分で出せるはずです。Ｘが分数になってあせるかもしれないけれど、それであっています。

最後にこの３問を解くためのポイント
ポイントI：直線の式を求める時は基本式Ｙ＝ａＸ＋ｂに分かっている数字を代入してみよう。ａ、ｂがいきなり分かるならラッキー！
ポイントII：２つの直線の交点は連立方程式で解ける。

んー、文章にすると数学の解説って難しいね。どこまで理解できるものになっているのか不安です。
今回の質問は一次関数の基本部分なので、理解できていないとこの先がかなり辛くなります。ここまで書いておいてなんですが、学校の先生とか友達とかに直に教えてもらうのが一番かもしれません。これが分かったら「Yの増加量／Xの増加量」で「ａ」が求められることを勉強するのが良いと思います。ここまで理解できると、２番目の問題が暗算で解けますよ。がんばってください。
ちなみに、ＸとＹを大文字にしましたが、小文字にしてみたら読みにくそうに見えたからです。普通は小文字で書きます。

お礼

たいへん長い文章をありがとうございます。
中2の一次関数が全く分からずに進んでしまうと大変なことになると聞いたのでとても助かりました。
しかしテストは過ぎてしまい、点数は半分も行きませんでした。
でもグラフの部分はすべて正解しました！
この後悔をいかし、少しでも正解できた達成感も大事にして頑張っていこうと思います。

ありがとうございました！

回答No.2

・真 綾・（@Ma-yan_bh1011）

＞グラフの傾きが３で点（2,9）を通る
y = 3x + a　が　x = 2 のとき y = 9 になると a を求めます。
これはここまでで分かると思うので省略します。

＞グラフが点（1,2）と点（2,8）を通る
y = bx + c が　x = 1 のとき y = 2 、 x = 2 のとき y = 8 になるということです。
x が 1 増えたとき y が6 増えていますので傾きは 6÷1=6
ということは
y = 6x + c が　x = 1 のとき y = 2 、 x = 2 のとき y = 8 になるように c を求めます。

＞次のグラフ同士の交点を求めて座標で答える
上の二つの方程式で、 x と y　が同じ組み合わせである場所を探すという意味です。
これはつまり二つの方程式を連立方程式として解くという意味になります。

お礼

連立方程式は少し苦手でしたが・・・なんとか解くことができました。

先生なみにわかりやすい方法ですね！と、いうより普段の授業を聞けってことですよね・・・。

ありがとうございました。

回答No.1

noname#231223

一次関数をｘｙ平面に描いたとき、グラフの傾きが３というのは、ｘが１増えたときｙが３増えることをいいます。
式で表すと、ｙ＝３ｘ＋ｂとなります（ｂは切片といい、ｘ＝０のときのｙの値です）。

ここで、傾き３のグラフが点（２，９）を通る場合、ｘ，ｙに（２，９）を代入して

９＝３×２＋ｂ

となりますから、ｂ＝３であることがわかります。

つまり、ｙ＝３ｘ＋３が答えとなります。

２点を通る問題では、まず２点のｘ，ｙそれぞれの差から傾きを求め、上記同様に切片を求めるとよいでしょう。

めんどうでもグラフを描いてみることで、理解が深まります。
方眼紙はありますか？

お礼

はい！方眼用紙で書いてみた結果・・・・

わかりやすかったです！しっかりやれば理解は深まるものなのですね。

ありがとうございました。