至急お願いします

質問

広島大学の入試問題です。
クラスで説明しなければいけないのですがさっぱり分かりません。
分かるところだけでも結構なので、出来るだけわかりやすく答えてくれると助かります。

（１） log2 ３ ＝m/nを満たす自然数m.nは存在しないことを証明せよ。
（２）p.qを異なる自然数とするとき 、plog2 ３ と qlog2 ３ の小数部分は等しくないことを証明せよ。
（３） log2 ３ の値の小数第１位を求めよ。

回答No.4

FT56F001

9>8より3^2>2^3，よってlog_2(3)>3/2=1.5
243<256より3^5<2^8，よってlog_2(3)<8/5=1.6
すなわち，1.6>log_2(3)>1.5なので，
その小数第一位は5

といえば簡単でした。

回答No.3

FT56F001

32768<59049<65536
2^15<3^10<2^16
(2^1.5)<3<(2^1.6)
1.5<log_2(3)<1.6

限られた入試の時間内に，この式を思いつかなくてもいいです。
でも，4行の間の関係(上の行と下の行の関係)は，
説明できるようになって下さい。

回答No.2

FT56F001

logが苦手な人は多いですね。logは指数関数の逆関数です。

log_a(b)=c　⇔　a^c=b

が基本です。あと，logの公式がいくつかあるので，復習してください。

>（１） log2 ３ ＝m/nを満たす自然数m,nは存在しないことを証明せよ。
log_2(3)=(m/n)となることを，a^c=bの形で書いてください。
これをn乗した数が，偶数か奇数かを考えてみましょう。

>（２）p,qを異なる自然数とするとき 、plog2 ３ と qlog2 ３ の小数部分は等しくないことを証明せよ。
もし，小数部分が等しいとなら，p　log_2(3)-q　log2_(3)は整数値になります。
この整数値をkとすると，(p-q)log2_(3)=kという式が出来ます。
でも，これはマズイことになります。どうしてかな?

>（３） log2 ３ の値の小数第１位を求めよ。
[方法0]
関数電卓を使うと，log2_(3)=1.584962501と求まります。
でも，こんでは入試の答えにならんじゃろが。

[方法1]
底の変換公式，log_10(2)=0.3010，log_10(3)=0.4771を知っていれば，
log_2(3)の値は計算できます。

[方法2]
2^11=2048と3^7=2187は，かなり近い値です。
仮に2^11=3^7とすればlog_2(3)の近似値を出せます。
さらに，2^11<3^7ですから，その近似値とlog_2(3)の大小関係は分かります。

余力があるなら，この近似値と真のlog_2(3)の誤差が0.05以下であり，
小数第一位まで正しく求まったことを示したいところです。
でも，計算がかなり面倒になりそう・・・。

回答No.1

noname#141424

３日前に同じ質問されてません？
http://detail.chiebukuro.yahoo.co.jp/qa/question_detail/q1472261194