至急お願いしますm(_ _)m解答を教えて下さい

質問

p，qを異なる素数、nを自然数とするとき、p^(2n)+q^(2n)はp+qの倍数にならないことを示せ

回答No.1

muturajcp

p>q
P(n)=[p^{2n}+q^{2n}≠0(mod(p+q))]
Q(n)=[Σ_{i=0～2n}p^{2n-i}q^i≠0(mod(p+q))]
とする

P(1)が偽であると仮定すると
p^2+q^2=k(p+q)となる自然数kがある
p(p-k)=q(k-q)
p≦kならばp≦k≦qとなってp>qに矛盾するから
p>k>q
pとqは異なる素数だから
p-k=jq
となる自然数jがある
pjq=q(k-q)
pj=k-q
p-q=j(p+q)≧p+q→0≧qとなってq>0に矛盾するから
∴P(1)は真

Q(1)が偽であると仮定すると
p^2+pq+q^2=k(p+q)となる自然数kがある
p(p+q-k)=q(k-q)
p+q≦kならばp+q≦k≦q→p≦0となってp>0に矛盾するから
p+q>k>q
pとqは異なる素数だから
p+q-k=jq
となる自然数jがある
pjq=q(k-q)
pj=k-q
p=j(p+q)≧p+q→0≧qとなってq>0に矛盾するから
∴Q(1)は真

ある自然数nに対してQ(n)は真と仮定し
Q(n+1)が偽であると仮定すると
Σ_{i=0～2(n+1)}p^{2(n+1)-i}q^i=k(p+q)となる自然数kがある
p[{Σ_{i=0～2n+1}p^{2n+1-i}q^i}-k]=q(k-q^{2n+1})
Σ_{i=0～2n+1}p^{2n+1-i}q^i≦kならば
Σ_{i=0～2n+1}p^{2n+1-i}q^i≦k≦q^{2n+1}
Σ_{i=0～2n}p^{2n+1-i}q^i+q^{2n+1}≦q^{2n+1}
→Σ_{i=0～2n}p^{2n+1-i}q^i≦0となってp>0&q>0に矛盾するから
Σ_{i=0～2n+1}p^{2n+1-i}q^i>k>q^{2n+1}
pとqは異なる素数だから
{Σ_{i=0～2n+1}p^{2n+1-i}q^i}-k=jq
pjq=q(k-q^{2n+1})
pj=k-q^{2n+1}
pΣ_{i=0～2n}p^{2n-i}q^i=j(p+q)
pはp+qの倍数でないから
Σ_{i=0～2n}p^{2n-i}q^iがp+qの倍数になり
Q(n)は真という仮定に矛盾するから
∴Q(n+1)は真
∴すべての自然数nに対してQ(n)は真となる

任意の自然数nに対して
P(n+1)が偽であると仮定すると
p^{2(n+1)}+q^{2(n+1)}=k(p+q)となる自然数kがある
p(p^{2n+1}-k)=q(k-q^{2n+1})
p^{2n+1}≦kならばp^{2n+1}≦k≦q^{2n+1}となってp>qに矛盾するから
p^{2n+1}>k>q^{2n+1}
pとqは異なる素数だから
p^{2n+1}-k=jq
となる自然数jがある
pjq=q(k-q^{2n+1})
pj=k-q^{2n+1}
p^{2n+1}-q^{2n+1}=j(p+q)
(p-q)Σ_{i=0～2n}p^{2n-i}q^i=j(p+q)
p-qはp+qの倍数でないから
Σ_{i=0～2n}p^{2n-i}q^iがp+qの倍数になり
Q(n)が真であることに矛盾するから
∴P(n+1)は真
∴
すべての自然数nに対してP(n)は真だから
p^{2n}+q^{2n}
はp+qの倍数にならない