方陣算

質問

http://yslibrary.cool.ne.jp/sansub1101.html

ここの例８についてですが、
解説にある、1辺のご石の数×（1辺のご石の数×2-1）＝ご石の総数
というきまりはどのようにして導き出したのでしょうか？

よろしくお願いします。

回答No.2

eco1900

本来なら「数列」の知識でお話ししてもいいのですが…

今回は質問にあった関係式でお話ししてみますね。

これは、「（赤い）串に刺された団子の数」で考えると分かりやすいと思いますよ^^。

まずは基本として…

（あ）一辺＝2の時（一本の串＝2個の団子）→串の数…3本
（い）一辺＝3の時（一本の串＝3個の団子）→串の数…5本
＊常に「一辺の碁石の数」と「団子の数」が同じですね^^　（A）

【図】のように正六角形の左右対称の特徴を使って次のように考えます。
対称軸（黄緑線）を境に左右に「串」がそれぞれ2本あると見なします。

＊この場合、「串」の数については、

　→右側を数える時も、対称軸（黄緑線）を含んでください。
　→左側を数える時も、対称軸（黄緑線）を含んでください。
　＊最終的には、どちら側か一方を数えて2倍すればいいでしょう。
　→ただし、単純に2倍と言っても、対称軸（黄緑線）は重複して数えていることになるので、ここで「1本」引いておきましょう^^A。

つまり、串の総数は…

　（あ）の場合、右側串数＝2本×２－1本　＊左側串数としてもいいですよ
　（い）の場合、右側串数＝3本×２－1本　＊左側串数としてもいいですよ

一辺に刺さった「団子」は
　（あ）の場合2個
　（い）の場合3個　…ですね。

つまり、一本の串に刺さった団子の数に、上のようにして串の総数を掛けるとできあがり^^v。

ということで…●団子の数×（団子の数×２－1）
　→（団子の数×２－1）の部分は「串の総数」でしたね。
　→さらに、確か（A）の部分で触れましたが…
　　　「団子の数」という部分を「1辺の碁石の数」としても同じでしたね。

それなら…●「1辺の碁石の数×（1辺の碁石の数×２－1）

と、こんな感じでしょうか^^A。

回答No.1

somethinghot

思いつきですが。

正六角形を長方形に変形させます。
　○○　　　
○　　○
　○○
↓↓↓↓
　○○
　○○
　○○

こうすると、一辺の碁石の数×（一辺の碁石の数×２－１）になりますね。
２番目も並び替えてみると、
　○○○
　○　○
　◎○○
　○○○
　○○○
となって（◎は二つの碁石が重なるところです）、重なった碁石を空白に入れると３×（３×２－１）になります。
３番目も試してみると「重なる碁石が２箇所で空白が２箇所」となり同様に解くことができます。
面白いですね。

数学ということですし、文字を使って一般化すべきかと思いましたが、リンク先も文字式を使ってないのでこのまま投稿します。
なんか、もっとスマートな方法がありそうですねー。