ばねの釣り合いについて

質問

床と天井の間にプレート重量M（kgw）を介して上側にバネ1（自然長L1（mm）、バネ定数K1（kgw/mm））、下側にバネ2（自然長L2（mm）、バネ定数K2（kgw/mm））があって、それぞれX1（mm）、X2（mm）縮んだ状態で釣り合っているとします。

この場合の釣り合いの式は（下向きの力）K1・X1＋M＝K2・X2（上向きの力）
になるかと思います。

この釣り合っている状態に、プレートに下向きの力Fを加えΔXだけプレートを下方向に動かした時の釣り合いの式から力Fがどう表現されるかについて質問です。ただしΔXプレートが動いてもバネ1，2は自然長より縮んでいるとします。私の考えでは次のようになりましたが、考え方等意見をお願いします。

（下向きの力）F＋K1・（X1－ΔX）＋M＝K2・（X2＋ΔX）　（上向きの力）

この式よりF＝ΔX（K1＋K2）　＋K2・X2－K1・X1－M
　　　　　　　＝ΔX（K1＋K2）　を導きました。

絵がなくてイメージしづらいと思いますが、下側にあるバネ2は縮むので、バネ2の縮み量を（X2＋ΔX）、上側にあるバネ1は伸びるので（X1－ΔX）として式を考えました。
フックの法則では一般にF＝－KXと表現されることが多いのですが、このマイナスを付けるのかという所でよく分からなくなってしまい質問しました。

感覚的には導き出したFが下側のバネ定数K2に上側のバネ定数K1を足した力になるのが不思議な感じです。

回答No.3

Quarks

ANo.1です。

理想的な条件設定の下で方程式の正しさを検討しましたが、現実の装置と理想の装置とでは、微妙な違いがあるのが定めです。いくつか、検討してみる必要があるかも知れません。

(1)　バネの自重を０と見なしていますが、現実のバネは重さを持っていますから、垂直にセットした場合、バネの重さを精確に取り込まなければなりません。バネを、小さいながらも質量を持った、短いバネの集合体として処理しなければなりません。その数値処理はかなりハードルが高くて、面倒ですが…。

(2)　フックの法則が成立しているものと見なしていますが、本当に成立しているのでしょうか？　特に、バネの場合、伸びに対してはフックの法則が当てはまり易いと言われていますが、縮みに対しては必ずしもそうとも言えないということも聞きます。実験で行った範囲で、フックの法則が正しく成り立っているのかを確かめる必要があるのではないでしょうか。
取り敢えずは、滑らかな水平面上にバネを横たえて自重の影響を無くし、水平方向に押し縮める実験をすることも検討すべきかと思います。

回答No.2

foomufoomu

>フックの法則では一般にF＝－KXと表現されることが多いのですが、
「バネの反発力は、変形と逆方向に働く。」という意味です。

この式は、個々のばねについて、力の方向を考えていますが、今回のような複数のバネの複合物を考えるときは、注目する箇所（今回は板のある所）で、どちら向きの力、移動を正にするかを決めて、計算するのが普通です。(そうしないと、もっと複雑な場合に、符号のとり方が大変になります。)

たとえば、下向きの力、移動、を正とすると、
バネ1、2とも、下向きの移動に対しては、上向きの反発力を生じますから、
F + M - K1・(-X1+ΔX) - K2・(X2+ΔX) = 0　（力が釣り合う）
と書くのがよいです。

>仕事で今回のような状態についてバネ定数を実測し、下側のバネ2の定数より大きな数値結果
>（K1＋K2に近い値とはなりませんでしたが）
実験結果がK1+K2にならなかった理由を考えてみると、
・現実の装置では何らかのガタつきがあるので、バネにかかる力がゼロに近いところで変形が大きくなるから。(ガタッと動く）しかしバネが常に縮んでいるなら、これは違います。
・床、天井が変形している。
・バネの弾性限界を超えて変形させている。

お礼

お礼が遅くなりました。
マイナスについてのコメントありがとうございます。分かりやすいです。

実験結果が合わない原因は現在検討中です。指摘を受けた床、天井の変形は考えにくいですし、弾性限界を超えた変形はしていないです。原因も考えていただきありがとうございました。

回答No.1

Quarks

図を描いて考えれば、正しく評価できます。

>フックの法則では一般にF＝－KXと表現されることが多いのですが、このマイナスを付けるのかいう所でよく分からなくなってしまい質問しました。

マイナス符号が付く意味は、Xの方向(伸びているか、縮んでいるか)と、弾性力の方向(縮む向きか、伸びる向きか)の関係を示したものです。
ですから、バネが縮んでいると想定しているなら、縮み量を正確に定式化してあれば、伸びる方向に働くものとして処理して良いのです。

添付図での、力の方向は、２本のバネが自然長よりも縮んでいる場合を想定して描かれていますが、実質的に
x1-Δx
が負であれば、バネ１が自然長よりも伸びている状態を示し、その弾性力も、実質的に逆向きとなりますから、バネの伸び縮みは正確に取り込んでいることがわかると思います。

質問者さんの、定式と変形は正しくなされています。

お礼

図まで描いていただきありがとうございます。
仕事で今回のような状態についてバネ定数を実測し、下側のバネ2の定数より大きな数値結果（K1＋K2に近い値とはなりませんでしたが）となり釣り合い式を考えると納得できたものの、感覚的にはバネ2の定数より小さな値となる予測をしていたので、どこかに間違いがあるのではないかと悩んでいたのです。

これで自信を持ってバネの選定ができそうです。