関数の問題について

質問

写真の図で、

(1)点Cを通り、△OABの面積を二等分する直線の式

(2)△AOB=△APBとなる放物線上の点Pの座標(ただし点Pは放物線上をAB間のみで動く)

の2つがわかりません。どなたかわかるかた、よろしくお願いします…

回答No.1

nattocurry · ベストアンサー

(1)
△OAB＝△AOC＋△BOC
△AOCは、底辺がOC、高さが2の三角形と見ることができ、
△BOCは、底辺がOC、高さが4の三角形と見ることができる。
ということは、△AOBは、底辺がOC、高さが6の三角形と同じ面積である。

直線OB上で、x座標が1の点をDとすると、
△DOCは、底辺がOC、高さが2の三角形と見ることができる。

△AOC＋△DOC＝△BOC－DOC＝△OAB÷2
が成り立つ。

よって、DとCを結ぶ直線が、△OABを二等分する直線。

(2)
△AOBと△APBの共通する辺ABを底辺とした場合、面積が同じということは、高さが同じということだから、直線ABと直線OPは平行である。
直線ABに並行で点Oを通る直線と放物線が交わる、点Oではないもう1つの点が点P。

お礼

前回に続きありがとうございました。しかしこの問題も相当難しい(と思ってるのは自分だけか)のに質問後、間もなく回答されるとはさすがです。どうもありがとうございました！

回答No.3

nattocurry

#2で正解が出ちゃったので、#1の解き方でも正解を出してみます。

(1)
直線AB：y=2x+8
点C：(0,8)
直線OB：y=4x
点D：(1,4)
直線CD：y-8=-4x　⇒　y=-4x+8

(2)
直線ABの傾きは2
直線OP：y=2x
直線OPと放物線の交点を求める
放物線：y=x^2
x^2=2x
x^2-2x=0
x^2-2x+1=1
(x^2-1)^2=1
x^2-1=-1,1
x=0,2
x=0は点0のx座標なので、点Pのx座標は2
点P：(2,4)

回答No.2

spring135

(1)点Cを通り、△OABの面積を二等分する直線とOBとの交点をRとすると

△RCB＝△OAB/2

となればよい。直線ABの式は

2x-y+8=0

OからABに下した垂線の足をHとすると

△OAB＝OH・AB/2

AB=6√5

OH=8/√5

△OAB＝24

R(u,v)とするとRはOB(y=4x)上にあるので

v=4u

RからABに下した垂線の足をSとすると

RS=|2u-v+8|/√5

△RCB＝BC・RS/2

BC=4√5

故に

△RCB＝2|2u-v+8|

故に

2|2u-v+8|＝24/2＝12

v=4uを用いて整理すると

|u-4|=3

u<4より

u=1

v=4

直線CRの式は

y=8-4x

(2)△AOB=△APBとなる放物線上の点Pの座標

P(p,p^2)からABに下した垂線の足をKとすると

PK=|2p-p^2+8|/√5=OH=8/√5
p^2-2p-8=±8

0<p<4の解はp=2

P(2,4)

お礼

回答していただきありがとうございました。
難しい解き方でしたので自分ではこの方法で解く事はできませんでしたが、他の方が同じ問題で悩んでるときに参考になって欲しいと思っています。
どうもありがとうございました！