<準備その1>
電位の定義は、電場Eが作用している場の中で1クーロンの点電荷を無限遠から点pまで運ぶに要する仕事と定義されます。電場は保存場なのでこの場合の仕事量は道筋によらないですね(←ややこしいことを言いましたが力学でよくやる万有引力のケースを思い出してください)。
これを数学的に書くと、電位をVとして
V=-∫[∞,p]E・dr=-∫[∞,p](Exdx+Eydy+Ezdz) (1)
となります。これから
Ex=-∂V/∂x,Ey=-∂V/∂y,Ez=-∂V/∂z (2)
が成り立つことが分かります。
<準備その2>
集合点電荷による電場と電位はそれぞれの電荷が作る電場、電位の足し算となります(線形和)。点電荷qクーロン1個が作る点Pでの電場は
E=(1/4πε0)q/r^2(r→/r) (3)
ベクトルrをr→と書いて、(3)の右辺の(r→/r)はベクトルr方向の単位ベクトルとなります。
電位Vは
V=(1/4πε0)q/r (4)
となります。従ってn個の集合電荷の点Pにおける電場は
E=(1/4πε0)Σqi/ri^2(ri→/ri),i=1,2,・・・n (4)
電位は
V=(1/4πε0)Σqi/ri,i=1,2,・・・n (5)
となります。
<問題の電荷配置が作る電位>
点P(x,y)とし、原点からの距離をr、点(-2,0)、(2,0)から点Pへの距離をそれぞれr1、r2とします。点Pでの電位は従って(5)より
V=(1/4πε0){q/r1+q/r2}
=(q/4πε0){1/√(r^2+2^2-2・r・2cosθ)
-1/√(r^2+2^2+2・r・2cosθ)} (6)
ここでθは原点と点Pを結ぶ線分のx軸となす角で、(6)の最後の変形は三角関数の公式を使います。
ここで、原点から点Pへの距離rが原点から電荷までの距離2よりはるかに大きいとすると(6)の第1項は
1/√(r^2+2^2-2・r・2cosθ)
=(1/r){1+4/r^2-(4/r)cosθ}^(-1/2)
ここで右辺第2項はrが非常に大きいので4/r^2→0となりますから
=(1/r){1+2/rcosθ} (7)
と展開できます。
同様にして第2項を計算し、(6)を整理すると
V=qcosθ/πε0r^2
=qcosθ/πε0(x^2+y^2)) (8)
となります。
以上のことは電磁気学の大抵のテキストに載っていると思いますので、ここで書いたことを参考にしてテキストを再度読み直されることをお奨めします。
お礼
本当にありがとうございました。電位についてのイメージを強くすることだできました。