標準誤差の式について

質問

標準誤差を求める式、SE = SD / √nについて質問がございます。

現在、標準誤差を勉強しております。
標準誤差が標本平均の標準偏差だと知り、
下記母集団を単純な例にして標準誤差を求めました。

■１
母集団「2,3,4」
標本集団「2,3」「3,4」「2,4」

■２
母平均：μ=3
母標準偏差：σ=√[{(2-3)^2 + (3-3)^2 + (4-3)^2} / 3] = √(2/3)

■３
標本平均：μ1=2.5、μ2=3.5、μ3=3
標本平均の平均：x=3
標本平均の標準偏差（標準誤差）：
s=√[{(2.5-3)^2 + (3.5-3)^2 + (3-3)^2} / 3] = √(1/6)

■４
標準誤差の式にあてはめ
SE = SD / √n
=√(2/3) / √3
=√(2/9)

３は標準偏差の公式に当てはめました。
４は標準誤差の公式に当てはめました。

計算間違いあるいは値の代入間違いでなければ、
３の標準誤差と４の標準誤差は同じになるはずだと思うのですが、
なっておりません。
何故なのでしょうか？
３の計算方法が間違っているのでしょうか？

お教えていただければ幸いです。
以上、宜しくお願いいたします。

回答No.1

backs · ベストアンサー

標準誤差は3のようにして求めるものではないです。
標準誤差は4にあるような

S.E. = S.D. / sqrt(n)

という計算式によって"推定"されるものです。

確かに、母集団から何回もサンプリングをしてそれぞれの平均値の分布の標準偏差を求めれば、それが標本誤差であるといえます。しかし、どんなにがんばっても、3のような方法（何回もサンプリングして平均値の分布の標準偏差を求める）と4の方法（1つの標本から標本誤差の公式から求める）とで値が一致することはありません。

これはコンピュータで実際にやってみれば実感できます。

3の方法：

1)　平均が50,標準偏差が15の正規分布に従っているデータから25個のサンプルを抽出する。
2)　これを100回繰り返して、その度に平均値を求める。
3)　100個の平均値の標準偏差を計算（＝標本誤差と呼ばれるもの）

Rという無料の統計ソフトで、1)と2)をいっぺんにやってしまう関数を定義します（別に意味は分からなくても良いですが）。

my.func <- function(){
dat.mean <- c()
for(i in 1:100){
dat.mean[i] <- mean(rnorm(25, mean=50, sd=15))
}
return(dat.mean)
}
#3)を実行
> sd(dat)
[1] 2.988013

4の方法：

1)　単純に平均50,標準偏差15の正規分布から25個サンプリングする。
2)　その25個のデータから標準偏差を求める。
3)　公式で標準誤差を求める。

#1回目のチャレンジ
> x1 <- rnorm(25, mean=50, sd=15)
> sd(x1)/sqrt(25)
[1] 2.955733
#2回目のチャレンジ
> x2 <- rnorm(25, mean=50, sd=15)
> sd(x2)/sqrt(25)
[1] 2.145187
#3回目のチャレンジ
> x3 <- rnorm(25, mean=50, sd=15)
> sd(x3)/sqrt(25)
[1] 3.807814

■3の方法ではS.E.=2.988013となりましたが、■4の方法では近い値にはなっても完全には一致しませんよね。そういうものです。

お礼

ご返答ありがとうございました。
返事が遅れまして申し訳ございません。
ご丁寧・詳細な回答に感謝しております。

標準誤差の式は１つの標本から「推定」する式なのですね。
でもなぜ、この式で１つの標本から標本平均の誤差を推定することが
できるのかがわかりません。
１つの標本だけのデータしかないのに・・・。