三角関数の最大値、最小値の問題
三角関数の問題で分からないことがあるので質問します。
[問]
次の関数の最大値と最小値を求めよ。
y = 2tan^2θ + 4tanθ + 1 [-(π/2) < θ < (π/2)]
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この問いに対して私はこのように答えました。
関数を変形して
y = 2(tanθ+1)^2-1
tanθ = -1、つまりθ=3/4π, 7/4πで最小値-1
tanθ = 1、つまりθ=π/4, 5/4πで最大値7
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このように出しましたが、答え合わせをすると間違っていました。
回答集の答え
tanθ = tとおくと-(π/2) < θ < π/2の範囲で、tanθは全ての実数値を取り得る。
yをtの式で表すと y = 2t^2 + 4t + 1 = 2(t+1)^2 - 1
故に、yはt = -1をとり、最大値はない。
t = -1となるのは、tanθ = -1から、θ = -(π/4)
よってθ = -(π/4)のとき、最小値-1。最大値はない。
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分かっている疑問点を書き出してみました。
イ：そもそも「-(π/2) < θ < π/2」がよく分からない。随って何故tanθが全ての実数値を取り得るのか分からない。
ロ：模範解答だと「tan = -1つまりθ = -(π/4)」となっている。θ=3/4π, 7/4πではないのか。
宜敷御願い致します。
