累乗の大小を教えて？

質問

累乗の大小の問題で、近似値の大小で1.01^101と0.99^-99はどちらが大きいかという問題ですが、
底かもしくは、指数を揃えるのか、若しくは対数に置き換えて分解するのか、また例えば、
（１＋０．０１）、（１－０．０１）と置き換えるとか、とにかく解りませんので、教えてください。

回答No.6

staratras · ベストアンサー

A=1.01^101,B=0.99^-99 としてA/Bの値を微分を使って求める方法を考えました。

f(x)=(1+x/100)^101/(1-x/100)^-99 を考えます。(0≦x<100)
A/B=f(1)です。
f(x)=((1+x/100)^101)(1-x/100)^99 これをｘで微分しますと

f'(x)=101(1+x/100)^100・(1/100)(1-x/100)^99+((1+x/100)^101)・99((1-x/100)^98)・(-1/100)

f'(x)=(101/100)((1+x/100)^100)((1-x/100)^99)-(99/100)((1+x/100)^101)((1-x/100)^98)
共通の項をくくりだすと
f'(x)=((1+x/100)^100)((1-x/100)^98))((101/100)(1-x/100)-(99/100)(1+x/100))
f'(x)=((1+x/100)^100)((1-x/100)^98))((2/100)(1-x))

ここで0≦x<100の範囲では、(1-x)以外の各項は常に正なので、
0≦x<1のときf'(x)>0　f'(1)=0　x>1のときf'(x)<0

またf(0)=1 なので　f(1)>1 すなわち　
A/B>1 かつ　A>0 B>0 なのでA>B

答　1.01^101>0.99^-99

お礼

常用対数を調べると、小数点以下6桁以上の詳しい数値が必要になってきますし、
関数化して、微分して近似値を調べたほうが、計算が楽だと思いました。
また、収束度のはやいテイラー級数（マクローレン展開）の利用も
参考になりました。ありがとうございました。

回答No.5

alice_44

勘違いをしてる。 ^-99 と ^(1/99) は違う。

とはいえ、比をとる方針は、
由来不明(恐らくは電卓)の対数近似値を利用したり、
不等式の評価に ≒ を使ったりするよりは、
遥かに数学らしい。 見習ってみよう。

1.01^101 / 0.99^-99
= 1.01^101 × 0.99^99
= 1.01^2 × (1.01 × 0.99)^99
= 1.0201 × 0.9999^99

これが >1 かどうか確認すればいい。
二項定理より、

0.9999^99
= (1 - 10^-4)^99
= Σ[k=0…99] (99Ck)(-10^-4)^k

この有限級数の項比(の絶対値)を計算してみると、

(99C(k+1))(10^-4)^(k+1) / (99Ck)(10^-4)^k
= { (99-k)/(k+1) }(10^-4)
= { -1 + 100/(k+1) }}(10^-4)
< 99/10000
< 1

交代減少級数を打ち切ると、打ち切り誤差は
打ち切った最初の項(の絶対値)より小さいから、
負の項までで打ち切れば、下から評価できる。
先の二項展開を第２項までで打ち切ると…

0.9999^99 > 1 - 0.0099 = 0.9901

よって、

1.01^101 / 0.99^-99
> 1.0201 × 0.9901
= 1.012882201
> 1.

回答No.4

mister_moonlight

見かけによらず、余りにも簡単なので、どこかで勘違いをしてるんだろうか？
大小を比較するとき、差をとるのは一般的だが、比を取る方法もある。

x＝1、y＝0.01　とすると、Ａ＝1.01^101＝(x+y)＾101、Ｂ＝0.99^-99＝(x-y)＾-99。
但し、Ａ＞0、Ｂ＞0.
よって、Ａ/Ｂ＝(x+y)＾99*(x+y)＾2/(99)√(x-y)。x+y＞1、0＜x-y＜1　だから　(x+y)＾99/(99)√(x-y)＞1は明らか。
つまり、Ａ/Ｂ＞1　→　Ａ＞Ｂ＞0.

回答No.3

info22_

#1です。

別解です。
>（１＋０．０１）、（１－０．０１）と置き換えるとか

f(x)={(1+x)^(100(1+x))}/{(1-x)^(-100(1-x))}
={(1+x)^(100(1+x))}{(1-x)^(100(1-x))}
=[(1-x^2){(1+x)/(1-x)}^x]^100

g(x)=(1-x^2){(1+x)/(1-x)}^x (0＜x＜1)とおくと
g(x)のマクローリン展開
g(x)=1+x^2+(2/3)x^4 +(2/5)x^6 +(76/315)x^8 + ...(0＜x＜1)
x=0.01＜＜1のとき　g(x)≒1+x^2
g(0.01)≒1.0001＞1

f(0.01)={g(0.01)}^100＞1
f(0.01)=(1.01^101)/{0.99^(-0.99)}>1
∴1.01^101＞0.99^(-0.99)

回答No.2

naniwacchi

こんにちわ。

過去に同じような（微妙に指数の正負が違うようですが）質問がありました。
ご参考まで。
http://okwave.jp/qa/q5036268.html

参考URL：

http://okwave.jp/qa/q5036268.html

回答No.1

info22_

常用対数をとって比較してみると

log(1.01^101)=101 log1.01≒101*0.004321≒0.4365

log(0.99^-99)=-99 log0.99=99 log(10/9.9)
=99(1- log9.9)≒99(1-0.995635)≒99*0.004365≒0.4321

　∴log(1.01^101)＞log(0.99^-99)

log xは単調増加関数なので

　∴1.01^101＞0.99^-99