ダイスロールの期待値

質問

TRPGの「ダブルクロス3」のダイスロールの結果の期待値を求める式を知りたいと思います。

・ダイスロールの内容
1～10までの数が書かれた10面体ダイスをx個用意します。別に2≦c≦10となる整数cを定めます。
まず、x個のダイスを振り、その中で最大の出目m1を記録し、出目がc以上であるダイスx2個を選り分けます。
次に、選り分けたx2個のダイスを振り、その中で最大の出目m2を記録し、出目がc以上であるダイスx3個を選り分けます。
この作業をn回、x(n+1)=0となるまで繰り返します。
達成値T=m1+m2+・・・+mn　となります。(c=10のときに1回目の出目の最大値が9だった場合、T=9です。)
この時、Tの期待値をxとcを用いて表せるでしょうか。

回答No.1

nag0720 · ベストアンサー

xとcでは表せませんが漸化式でなら。

x個のダイスを振ったとき、その中で最大の出目がkである確率は、
(k^x-(k-1)^x)/10^x
なので、最大の出目の期待値は、
Σ[k=1・・・10]k*(k^x-(k-1)^x)/10^x

x個のダイスを振ったとき、出目がc以上がk個である確率は、
xCk*(11-c)^k*(c-1)^(x-k)/10^x

以上から、x個のダイスを振ったときのTの期待値をT(x)とすれば、
T(x)=Σ[k=1・・・10]k*(k^x-(k-1)^x)/10^x＋Σ[k=1・・・x]T(k)*xCk*(11-c)^k*(c-1)^(x-k)/10^x

よって、
T(x)={Σ[k=1・・・10]k*(k^x-(k-1)^x)＋Σ[k=1・・・x-1]T(k)*xCk*(11-c)^k*(c-1)^(x-k)}/(10^x-(11-c)^x)

お礼

回答ありがとうございました。計算してみます。