Σk^xの係数に規則性を見つけました

質問

0[k=1,n]k^x　(ｘは0以上の整数)　を計算して求められたnの多項式の係数に規則性を発見しました。以下に示すこの規則性が正しいかどうか、或いは既知の内容なのかを教えてください。

　　　 　n 　　 n^2 　 n^3 　 　 n^4 　 n^5 　 n^6 　 n^7 　 n^8 　 n^9 　 n^10 　 n^11 　 n^12
x=0 (　1　)
　 1 ( 1/2 ) ( 1/2 )
　 2 ( 1/6 ) ( 1/2 ) ( 1/3 )
　 3 (　0　) ( 1/4 ) ( 1/2 ) ( 1/4 )
　 4 (-1/30) (　0　) ( 1/3 ) ( 1/2 ) ( 1/5 )
　 5 (　0　) (-1/12) (　0　) ( 5/12) ( 1/2 ) ( 1/6 )
　 6 ( 1/42) (　0　) ( -1/6) (　0　) ( 1/2 ) ( 1/2 ) ( 1/7 )
　 7 (　0　) ( 1/12) (　0　) (-7/24) (　0　) ( 7/12) ( 1/2 ) ( 1/8 )
　 8 (-1/30) (　0　) ( 2/9 ) (　0　) ( -7/15) (　0　) ( 2/3 ) ( 1/2 ) ( 1/9 )
　 9 (　0　) (-3/20) (　0　) ( 1/2 ) (　0　) (-7/10) (　0　) ( 3/4 ) ( 1/2 ) ( 1/10)
　 10 ( 5/66) (　0　) ( -1/2) (　0　) (　1　) (　0　) (　-1 ) (　0　) ( 5/6 ) ( 1/2 ) ( 1/11)
　 11 (　0　) ( 5/12) (　0　) (-11/8) (　0　) ( 11/6) (　0　) (-11/8) (　0　) (11/12) ( 1/2 ) ( 1/12)

かなり見にくいですがこの表を斜めに見下ろすと、一番長い列から順に

n^(x+1) の係数は　1/(x+1)
n^x・・・ 1/2
n^(x-1)・・・ x/12
n^(x-2)・・・ 0
n^(x-3)・・・ -(x)P(3)/6! ←(x)P(3)=x(x-1)(x-2) (すなわちxパーミテーション3のこと)
n^(x-4)・・・ 0
n^(x-5)・・・ (x)P(5)/(6×7!)
n^(x-6)・・・ 0
n^(x-7)・・・ -3×(x)P(7)/10!
n^(x-8)・・・ 0
n^(x-9)・・・ -5×(x)P(9)/(6×11!)
n^(x-10)・・・ 0

という風にかなり規則性があります。
(x-7)乗や(x-9)乗あたりはかなり怪しいですが・・・
手計算ですし、x=12ではまだ上の規則に従ったものの、x=13からは分子に素数が出てきてしまい、ダメでした。パソコンで計算できればいいのですが、そのような知識と技量もなく・・・

回答お待ちしています。

回答No.1

kabaokaba · ベストアンサー

＞或いは既知の内容なのかを教えてください。

既知です．
ベルヌーイ多項式と呼ばれるもので記述されます．

自然数pに対して，ベルヌーイ多項式B_p(x)というのが定義されて
1^p+2^p+・・・+n^p = (B_{p+1}(n+1)-B_{p+1}(1))/(p+1)
という形になります．
＃たぶんあってるとおもうけど，もしかすると添え字がずれてるかも(^-^;

ベルヌーイ多項式そのものの定義が厄介なのですが，
このことが和の複雑性を表しています．
B_{p}(x+1}-B_{p}(x)=px^{p-1}
という微分みたいな性質があって，この手の性質で
累乗和と絡んできます．

お礼

ベルヌーイ多項式ですか・・・
ベルヌーイ多項式は調べてるときに出てきたのですが、よく解りませんでした(泣)
ちょっと今からベルヌーイ多項式と向き合いたいと思います。

ありがとうございました。