6÷2（1+2）＝？

質問

「ガジェット通信」 2011年5月6日より

「6÷2（1+2）＝？」という小学生レベルの問題？　大勢の人が「１」と答え半分以上が不正解

http://getnews.jp/archives/114382

私も最初は１と答えました。正解は9ということです。
小学生レベルの問題に間違うとは・・・と落ち込んだのですが・・・
やはり1で合っているような気がしてなりません。

本当の正解はなんでしょうか？

回答No.30

boiseweb · ベストアンサー

#22です．たびたび失礼します．

「9が正解」と主張する重要な前提の一つは『「×」と「÷」は代数的優先順位が同一であり，それゆえ左から順に解釈するのが正しい」ですが，この前提にはどの程度の「妥当性」というか「説得力」があるでしょうか．私は，この前提の説得力はものすごく弱いと思います．

割り算の記号「÷」がユニバーサルな数学記号ではなく，世界では「÷」を常用する地域の方が少ないことはよく言われています．その少ない地域のひとつである日本でさえ，学校の授業で「÷」を使うのは小学校算数までで，中学校以降では急速に分数形式の記法に移行して「÷」は遠のけられます．
日本の小学校算数で「÷」を使っているのも，代数の体系の一部というより，慣用として使われている割り算の表記法を教えるという程度の意味しかないように，私には思えます．

そのような，しょせん「方言」程度のローカルな慣用記号である「÷」について，『他の演算記号と混用したときの優先順位をどこに位置づけるべきか』という問い自体がそもそもナンセンスで，それをどのように規約しようとも，そんな規約は数学のユニバーサルなルールにはなり得ません．
それに，「÷」と他の演算記号が複雑に混じり合った式というのは，そもそも難解というか「醜悪」なものです．そして，その醜悪さは，演算記号の優先順位づけで対処するレベルのものでなく，最悪でも「括弧を使う」ことで，そして理想的には「分数形式で書く」ことで根本的に解決すべきです．

それでは，なぜ（少なくとも日本の小学校算数で）「÷」は「×」と同順位というルールが存在するのか，また，その根拠は何か？
私の考えは「小学生に複雑な式の計算練習をさせるための『方便』あるいは『必要悪』」です．

「÷」と他の演算記号が複雑に混じり合った（実用性の観点からは劣悪な）式をあえて書いて，演算記号の優先順位の規約だけを頼りに解釈して計算することの意義として，私がただ一つ納得するのが「小学生の計算練習」です．小学生に複雑な式の計算を反復練習させる目的で，あえて複雑な式を作るために「÷」を組み込みたいが，そのためには「÷」の優先順位を規約する必要がある，ということで，方便として『「÷」は「×」と同じ優先度』という無難な規約を設けて，小学校算数ではその規約で統一した，という程度の問題だと，私は考えます．
言ってみれば，「÷」の演算優先順位が解釈に影響するような式自体が「しつけ箸」とか「幼児用自転車の補助輪」としての値打ちしかなくて，トレーニングという目的を達した段階で，演算優先順位の規約もろとも捨て去るのが順当，というのが，私の考えです．中学校数学で「÷」を脱却して分数形式に移行する理由も，そういう流れで理解すべきでしょう．

6÷2（1+2）を「1」と答える，あるいは「数式そのものがあいまいだ」と文句をつけるのは，正しく「補助輪」を捨て去った大人としての自然な態度であって，恥じる必要はないと思います．
むしろ，「9が正解」と主張して「1」と答えた人を笑う大人のほうが，「補助輪つき自転車」にしがみついて離れられない「みっともない大人」のように思えます．

お礼

私も遠い記憶では、数学を習った瞬間に今まで抱えていた算数の煩わしさから一気に解放された覚えがあります。
この問題は÷という算数的表現を使うなら×の省略という数学的表現を用いるべきではないでしょう。
算数的表現と数学的表現を混合することで意図的に惑わす「醜悪」な数式といえるのかもしれません。

ただ、No.21さんの紹介サイトにもありましたが中学数学では÷という表現が使用されているようです。
http://math.005net.com/yoten/sikinok2.htm
（といっても私自身現在の中学数学事情に詳しいわけではありません）

この記事自体も「算数も分からない大人が多い」みたいに悪意を感じますが、それゆえにこうして楽しみながら反論し思わぬ理解を深める機会になっているのかもしれません。
回答ありがとうございました。

回答No.73

alice_44

弟さんの混乱が、「１」の問題点を浮き彫りにしているのでは？

＞ どうして値を代入しただけなのに新たに括弧が登場したのか

そこが、文科省案のマズイところです。
文字式のときだけ括弧が要らないことにしてしまうから、
そういう変なことが起こる。

お礼

確かにそうですね。
回答ありがとうございます。

回答No.72

bururutti-2

Ｎｏ．６７です。試しに弟にこの問題を解かせてみました。そしたら「９」と答えました。
弟は「×を省いた所は優先して計算する。」という決まりが無いから左から計算したみたいです。

そこで、弟に次の問題はどうなるのか聞きました。

６÷２√５

そしたら、弟は「２√５＝２×√５ではなく、２√５で一つの数だから３／√５」と答えました。
さらに、弟に次の問題のように文字が含んだ場合はどうなるのか聞きました。

６÷２（ａ＋２）において、ａ＝１の時はいくつか。

そしたら、弟は「この式は文字が含んでいるから２（ａ＋２）は纏めて考えて１」と答えました。
そこで、今度は次の計算手順を提示しました。

６÷２（ａ＋２）＝６÷｛２（１＋２）｝＝１

もし弟の計算手順が正しいなら、上式のように２（１＋２）に括弧を付けなければ１になりません。
どうして値を代入しただけなのに新たに括弧が登場したのか聞いてみました。
そしたら何も言えなくなったようです。さらに、次の問題を纏めて出題しました。

(1)ａ÷２（１＋２）において、ａ＝６の時はいくつか。
(2)６÷ａ（１＋２）において、ａ＝２の時はいくつか。
(3)ａ÷ｂ（１＋２）において、ａ＝６，ａ＝２の時はいくつか。

そしたら弟は頭がパニックになって解けなくなってしまいました。
これらを提示した後で再び例の問題を見せましたが、どっちが正解か分からなくなったようです。

やっぱり「９」は大した説得力を持たないなぁ～
「９」を否定する方法はいくらでも思い付くが、「１」を否定する方法は思い付かないですね。
「９」になるのは単に「小学校で習う計算順序のみを適応した」ってだけですから・・・

ちなみに、自分は１派ってことで・・・

お礼

いろんなパターンで考えると、どうも「９」だと矛盾が生じるんですよね。
回答ありがとうございます。

回答No.71

masandokun

No.69です。
失礼しました。No.45：doton さんが、すでに
＞しかし、習わないだけであって間違いとはいえません。
http://e.pic.to/13j7eo
と書かれておりました。
全部読んでいたつもりだったのですが、勉強になりました。
というわけで、9派に仲間入りさせてください。

お礼

学校で習わないからと言って間違いではないと言うことは他にもありそうですね。
回答ありがとうございます。

回答No.70

Kules

ANo.6のKulesです。

>もし６÷２a＝３/aとしたいのであれば私なら
>6÷(2a)と書くでしょうね。

とかアホなこと書いたな～恥ずかしいな～と思いつつ
何となく議論も深まってるので別に何も書かなくていいかな～と思っていたのですが、

>6÷2（1+2）＝6÷2×3＝9　と主張される方は視下の例も認めるのでしょうか。

についてコメントしないで
>6÷2（1+2）＝6÷2+4＝7
と考えると思われるのはさすがに心外なので少し書いてみます
（他の回答者が書かれたことに迂闊にコメントすると削除されてしまうかも知れませんが）

私が四則計算で知っているルールは
・括弧の中身は先に計算する
・加減より乗除を先にする

の２つです。
なので、何はともあれ括弧の中身は計算するのですから
6÷2(1+2)=6÷2(3)
までは一本道です。括弧を先に計算して、しかも前の項にしか÷がかからないような計算を考えることはありえません。
（括弧の中が文字だったらどうするのか、という意見はあると思いますが、それはとりあえずスルーします。）

で、このまま（何もせずに）括弧を外すと
6÷23→六割る二十三となるのでこれはまずくて、
何らかのルールに沿うよう記号を加える必要があります
この時
2と(3)の間は掛け算だろう（文字式を書く時に×の記号は省略されるので、それが省略されていると考えるのが自然なのかな、と。）となるのですが、
ここで
6÷(2×3)
と考えるなら1ですし、
6÷2×3
と考えるなら9なんでしょうね。
私は後者です。

で、そもそも6÷2(3)
という式が存在しちゃだめなんじゃないの？
という意見も非常に納得のできる話です。
私自身
>まあこの式に相当な気持ち悪さはありますが、
私は9と解答しました。

と書いた通り、「まあ敢えて言うなら9かな…」ぐらいの感じですね。

参考になれば幸いです。

お礼

最初の式も気持ち悪ければ、計算の過程の式もかなり気持ち悪いですね。
回答ありがとうございました。

回答No.69

masandokun

3派のNo.59です。

優先順位以前の問題として
6÷2(1+2)が式として成立するのでしょうか。
定数項だけの多項式に、係数（らしきもの）をつけて良いのかという疑問です。
定数項に係数はつけられませんが、この問題、係数の次に（）が記述されています。
プログラム言語であれば括弧は言語によって、予約語であったり、演算子であると定義さ
れていますけど、数学や算数における（）の実態はなんでしょう。
疑問は残るものの
私は、これを式と捉えることができません。

＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊
係数と掛け算の違いを私は次のようにイメージしています。
鶴亀算を例にしましょう。
鶴と亀が3匹いました。
鶴と亀の足を数えると、10本でした。亀は何頭でしょう。

連立を使うと、和算をなんと心得ると叱られるかもしれませんが

x+y=3、2x+4y=10　です。

この式で、xは2という係数に支配されます。
同族同士で演算されるまでは2と一心同体です。
このため掛け算よりも結びつきが強くなります。

y=3-x

同じように式の定数となる3は、自分を3だと強く主張し、オーラを放っています。
3以外の何物でもありません。係数を必要としないのです。

この問題の１と2もオーラを放っています。
鶴が1羽と2羽いた時の足の合計は6本です。
1と2にとって、足の数2は、一時的なパートナーでしかありません。
よって、足2が、鶴1と鶴2に迷惑を掛けないように2×(1+2)と掛け算をします。

＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊
話を戻します。

6÷2(1+2)は6÷2×(1+2)ではありません。×は書略できないのですから。
式でもない6÷2(1+2)を式とするため「×」を「勝手」に挿入し「9」を導きました。
次に、考えたのは
１．6÷2(1+2)は式ではない。実はトンチ問題。
２．6÷2　CR+LF　(1+2)
と改行コード（CR+LF）が隠されている
３．6÷2=3　(1+2)＝3
答えは　3　だと考えました。

式でない以上、9でも1でも3と答えても、評価は同等です。
式でないものを対象として論理的な話はできませんし、いつまでたっても、平行線のまま
です。
このことは2(1+2)を使って理論展開される1派、9派全ての人に当てはまります。
式でないものをいくら振り回しても説得力がありません。

＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊
9を求めるのなら
6÷2×(1+2)
1を求めるのなら
6÷(2×(1+2))
と表現すべきで、どちらも6÷2(1+2)とはなりません。
また、（）は重要で、合理化できるものでもないと思います。
話が違いますが、C言語のマクロでは、バグ防止のため、
(6/(2*(1+2)))のように必要以上に（）をつける場合もあります。

有効な式なのか
ネット上の混乱が、これが式でないということを物語っているのではないでしょうか。
どなたか、この式は有効ですと断言されれば、考えを改め9派に戻ります。

お礼

結局これは式ではないというのが結論なんですかね。
回答ありがとうございます。

回答No.68

sugijinja

確かに左から右へ計算するという原則はありますが　乗算記号「×」が省略されているときは先にそこを計算するというルールがあるのではないでしょうか(参考URLの10ページあたり)

とすると　正解は「１」ではないですか？

６÷２(１+２)＝６÷(２×３)
　　　　　 ＝６÷６
　　　　　　＝1

参考URL：

http://ir.lib.shizuoka.ac.jp/bitstream/10297/996/1/080325001.pdf

お礼

私もそう思います。
回答ありがとうございます。

回答No.67

bururutti-2

Ｎｏ．６３です。Ｎｏ．２１で記述した２つの解釈を再び記述します。

解釈１
６÷２（１＋２）＝６÷２×（１＋２）とみなして計算する方法

解釈２
２（１＋２）をひとまとまりにして計算する方法

９派の中には「数式と文字式は計算方法が違う。」と意見する者もいるでしょう。
そこで、数式の時は解釈１，文字式の時は解釈２として考えた時に、値を文字式に代入するとどうなるか試してみました。

ａ÷２（１＋２）において、ａ＝６の時はいくつか。

ａ÷２（１＋２）　　　　（←文字式）
＝６÷｛２（１＋２）｝　（←数式）
＝１

代入した所と関係無い所に括弧が付いてしまいました。
しかも、代入する度に括弧が付くかどうかにも気を付けなければならないので、無駄にややこしくなるだけです。
やっぱり文字式と数式の計算方法は同じ方が良いですね。

お礼

文字式と数式の計算方法が違うといろんな矛盾が生まれますよね。
回答ありがとうございます。

回答No.66

kenjoko

6÷2（1+2）=6÷(2×3)=1　ではなく

6÷2（1+2）＝6÷2×3＝9　と主張される方は視下の例も認めるのでしょうか。

6÷2（1+2）＝6÷2+4＝7
6÷2（1+2）＝6÷2(√3×√3)=6÷2√3×√3=3 ... (1+2＝3=√3×√3)
6÷2（1+2）＝6÷2(√3×√3)=6÷√3×2√3=12
6÷2（1+2) =6÷2（4-1） ... (1+2＝3=4-1)
=6÷8-2
=3/4-2
=-5/4

お礼

回答ありがとうございます。

回答No.65

kenjoko

6÷2（1+2）=6÷(2×3)=1　ではなく

6÷2（1+2）＝6÷2×3＝9　と主張される方は下の例も認めるのでしょうか。

6÷2（1+2）＝6÷2+4＝7
6÷2（1+2）＝6÷2(√3×√3)=6÷2√3×√3=3 ・・・・ (1+2＝3=√3×√3)
6÷2（1+2）＝6÷2(√3×√3)=6÷√3×2√3=12
6÷2（1+2) =6÷2（4-1） ・・・・ (1+2＝3=4-1)
=6÷8-2=3/4-2=-5/4　　　　　 ・・・・etc.

お礼

いろいろ矛盾も出てきますね。
回答ありがとうございます。

回答No.64

alice_44

A No.52 続き： 少し調べてみました。

台湾の制度は日本のものと似ていて、
学習指導要領に相当する「国民中小学九年一貫課程綱要」と
それに基づく検定教科書があり、
具体的な教科書は各学校毎に選定されます。
「綱要」によれば、文字式の導入は小学５年の後期で、
日本よりだいぶ早いですね。

日本の「要領」では、小学校の算数と中学校の数学の間に
はっきりとした境目があって、「×」「÷」を使う算数と
文字式を使う数学とは、別のものとして扱われます。
この辺に、「×」つきの乗算と「×」なしの乗算を区別して、
結合順位まで別にしてしまう考えかたの源がありそうです。

それに対し、台湾では、「×」「÷」つきの式と、文字式が
同じ学年の前期と後期で扱われますから、その間の壁は低く、
「×」つきも「×」なしも、書き方が違うだけで
同じ乗算として扱う考え方が自然そうです。

台湾のスタイルのほうが、やや上等な印象はありますが、
いづれにしろ、各国の教育制度に汚染されたローカルルール
に過ぎませんから、数学的には、どちらかが一方が正しい
という訳ではないでしょう。

お礼

教え方に違いがあるとはいえ、基本的なルールは同じでないといけませんね。
調べていただきありがとうございます。