6÷2（1+2）＝？

質問

「ガジェット通信」 2011年5月6日より

「6÷2（1+2）＝？」という小学生レベルの問題？　大勢の人が「１」と答え半分以上が不正解

http://getnews.jp/archives/114382

私も最初は１と答えました。正解は9ということです。
小学生レベルの問題に間違うとは・・・と落ち込んだのですが・・・
やはり1で合っているような気がしてなりません。

本当の正解はなんでしょうか？

回答No.30

boiseweb · ベストアンサー

#22です．たびたび失礼します．

「9が正解」と主張する重要な前提の一つは『「×」と「÷」は代数的優先順位が同一であり，それゆえ左から順に解釈するのが正しい」ですが，この前提にはどの程度の「妥当性」というか「説得力」があるでしょうか．私は，この前提の説得力はものすごく弱いと思います．

割り算の記号「÷」がユニバーサルな数学記号ではなく，世界では「÷」を常用する地域の方が少ないことはよく言われています．その少ない地域のひとつである日本でさえ，学校の授業で「÷」を使うのは小学校算数までで，中学校以降では急速に分数形式の記法に移行して「÷」は遠のけられます．
日本の小学校算数で「÷」を使っているのも，代数の体系の一部というより，慣用として使われている割り算の表記法を教えるという程度の意味しかないように，私には思えます．

そのような，しょせん「方言」程度のローカルな慣用記号である「÷」について，『他の演算記号と混用したときの優先順位をどこに位置づけるべきか』という問い自体がそもそもナンセンスで，それをどのように規約しようとも，そんな規約は数学のユニバーサルなルールにはなり得ません．
それに，「÷」と他の演算記号が複雑に混じり合った式というのは，そもそも難解というか「醜悪」なものです．そして，その醜悪さは，演算記号の優先順位づけで対処するレベルのものでなく，最悪でも「括弧を使う」ことで，そして理想的には「分数形式で書く」ことで根本的に解決すべきです．

それでは，なぜ（少なくとも日本の小学校算数で）「÷」は「×」と同順位というルールが存在するのか，また，その根拠は何か？
私の考えは「小学生に複雑な式の計算練習をさせるための『方便』あるいは『必要悪』」です．

「÷」と他の演算記号が複雑に混じり合った（実用性の観点からは劣悪な）式をあえて書いて，演算記号の優先順位の規約だけを頼りに解釈して計算することの意義として，私がただ一つ納得するのが「小学生の計算練習」です．小学生に複雑な式の計算を反復練習させる目的で，あえて複雑な式を作るために「÷」を組み込みたいが，そのためには「÷」の優先順位を規約する必要がある，ということで，方便として『「÷」は「×」と同じ優先度』という無難な規約を設けて，小学校算数ではその規約で統一した，という程度の問題だと，私は考えます．
言ってみれば，「÷」の演算優先順位が解釈に影響するような式自体が「しつけ箸」とか「幼児用自転車の補助輪」としての値打ちしかなくて，トレーニングという目的を達した段階で，演算優先順位の規約もろとも捨て去るのが順当，というのが，私の考えです．中学校数学で「÷」を脱却して分数形式に移行する理由も，そういう流れで理解すべきでしょう．

6÷2（1+2）を「1」と答える，あるいは「数式そのものがあいまいだ」と文句をつけるのは，正しく「補助輪」を捨て去った大人としての自然な態度であって，恥じる必要はないと思います．
むしろ，「9が正解」と主張して「1」と答えた人を笑う大人のほうが，「補助輪つき自転車」にしがみついて離れられない「みっともない大人」のように思えます．

お礼

私も遠い記憶では、数学を習った瞬間に今まで抱えていた算数の煩わしさから一気に解放された覚えがあります。
この問題は÷という算数的表現を使うなら×の省略という数学的表現を用いるべきではないでしょう。
算数的表現と数学的表現を混合することで意図的に惑わす「醜悪」な数式といえるのかもしれません。

ただ、No.21さんの紹介サイトにもありましたが中学数学では÷という表現が使用されているようです。
http://math.005net.com/yoten/sikinok2.htm
（といっても私自身現在の中学数学事情に詳しいわけではありません）

この記事自体も「算数も分からない大人が多い」みたいに悪意を感じますが、それゆえにこうして楽しみながら反論し思わぬ理解を深める機会になっているのかもしれません。
回答ありがとうございました。

回答No.83

spiralflow

その概念が人それぞれちがうからこれだけ問題になっているわけです。概念を確認したほうがよいといわれましても、確認のしどころはもはやないと思います。むしろabというものはa×bという乗算によって生み出された積である、という概念をみんなが共通に認識していれば、「×」「÷」よりも積の「結合力」が優先されることに合理性が出てくると思います。そうすれば正解はひとつになると思いますので。

＞演算子とは、演算を表す記号のこと。
→それはそうだと思います。

でも、２数の演算とは2数と、その間に存在する「あるルール」によって別のある数を生み出すことだと思います。「演算」という言葉がそのルールのみをさすものなのか、そのルールをもってある数を生み出すことをさすのかで見解がずれているようですが、もし私の思っている「演算」という言葉の定義が明らかに違うというなら別に違う言葉でもかまいません。わたしは「演算」ということばの定義がどうこうというのもさることながら、a×bの「結果」がabだということを強調したいです。

少なくとも、

a×b を「計算」しなさい→正解　ab

というものを中学校で教えるわけですから、あくまでもabはa×bの結果だという認識をしっかりもつべきです。むしろ学校はそう教育しないとおかしいと思います。計算の結果というものには結合力があると思います。演算は数と数を結合させることなのですから。

回答No.82

alice_44

あまり観念的にならないで、
概念を確認したほうがよいと思います。

演算子とは、演算を表す記号のこと。
演算子によって表されるものが、演算です。
「a×b」というのは、２数 a, b に
演算子「×」で表される演算を施した
結果であり、つまり、a と b の積です。

似たような話として、「関数 f(x)」
という言い方がありますが、正しくは
関数は f で、f(x) は関数の値です。

お礼

回答ありがとうございます。

回答No.81

spiralflow

いやいや、
演算（二項演算）というのは、 「二つの数から新たな数を決定する規則」 を一般化した概念であって、結合ともいうそうです（wikipediaより）。

つまり二つの数を結合する規則が「演算」だと思います。二項演算子の前後に二つの「数」を表記して二つの数を結合することを「演算」と呼ぶのだと私は理解します。

「×」は演算子であって演算ではない。「a×b」、つまりaとbの乗算（という演算）の結果が「ab」ならば、「a×b」が乗算（という演算）で「ab」が積にあたります。

ちなみにwikipediaでは、
＞乗法の結果を積（せき、product）と呼ぶが、しばしば積の一語で乗法そのものを指すことがある。
と述べられています。「乗法（乗算）」と「積」がごちゃごちゃにされている、ということでしょうね。

概念的なことですが、
「a×ｂ」　はaとbを掛け合わせるという行為そのもの、
「ab」　はaとbを掛け合わせたその結果という意味合いが強いと思います。

a×ｂは確かにaとbの積ともとれますが、乗算という演算はaとbの二つの数を乗算というルールで結合するわけですから、イメージ的にどちらかといえば「a×b」というより「(a×b)」が積に当たるのだと思います。より結合したものが「積」です。つまり、「ab」の意味合いは「a×b」というよりは「（a×b）」に近いと思っています。

ですから、「行為」と「結果」をきちんと区別すれば混乱が少なくなります。
6÷2（1+2）=6÷{2×（1+2）}
ととらえるべきだと思います。

ですから解答は「１」でよいかと。

お礼

回答ありがとうございます。

回答No.80

alice_44

演算は「×」であって、
「a×b」は積です。

掛け算と積とをゴッチャにすると、
話が混乱するだけだと思う。

回答No.79

spiralflow

ガジェットのコメント欄より、

（引用ここから）
「a×b」は乗算（というひとつの「演算」）、「ab」は積（つまりひとつの「数」）、同様に「a÷b」は除算（という「演算」）、「a/b」は商あるいは分数（というひとつの「数」）だと思う。この感覚は一般的な感覚とさほどずれはないのではないか。実際「a×b」を計算すれば「ab」になるのだから。従って乗算記号が省略された乗算（つまり「積」）は「×」「÷」記号を含む乗算、除算より優先されるというルールにはそれなりの合理性があると思う。「ab」が単なる乗算記号の省略と考えるから混乱するのであって、乗算と積、除算と商をあくまで別物と考えれば混乱は少ないと思う。
（引用終わり）

これはその通りだと思います。「掛け算」と「積」をごちゃごちゃに教育し、中学校でa×b=abを単なる「×」の省略だと教えてきているから「９」という解答が出てきてしまっているのだと思います。私は「１」だと思います。

参考URL：

http://getnews.jp/archives/114382

回答No.78

bururutti-2

Ｎｏ．７６です。

括弧が増えていけないっていうより、「値を入れる」という行為を行うと「括弧が増える」というのは誰が考えても不自然極まりないと思うのだが・・・
これに何の疑問も抱かない人っているのだろうか？

ちなみに、括弧が増えるとデメリットもあります。（むしろ、デメリットしかない。）
括弧が増えると非常に計算し難くなるんですよ。
例の式は単純だから問題ないですが、複雑な式になるとどこに括弧を付けてよいか分からなくなってしまい、頭が混乱してしまうでしょう。
これを回避する方法も無くはないですが、そしたら別の疑問が生まれてしまい意味が無いんですよ。
それなら最初から「２（１＋２）を纏めて計算すればいいじゃん！！」って結論になってしまうわけです。

・・・そもそもこのような混乱を招く定義をしたのが良くない。
このような混乱を避ける為に、一刻も早く優先順位の見直しをして欲しいですね。

お礼

回答ありがとうございます。

回答No.77

masandokun

No.75です。
すみませんでした。逆になぜ、括弧が増えていけないのかが、わかりません。

言葉をかえてみます。
6÷2(a＋2)
(a+2)をAとすると
2はAの家族なので6より結びつきが強い
6÷2(a＋2)
のときは2は(a+2)の家族だから6より結びつきが強い
aに1を代入すると
6÷(2×(1＋2))
と、なりますが。括弧が増えると良くないのでしょうか。
6÷2(1＋2）
文字式を持たないとき、家族分けをする必要はなく
6, 2, 1, 2 は他人同士になります。
2は(1+2)より、左にいる6と最初に関係を深めます。

√も文字式と同じような性質を持ちます。
√3＋√5　は　√8にはなりませんので、それぞれが家族持ちのようなものです。
logも同じですね。

お礼

家族というのはぴったりの表現ですね。
回答ありがとうございます。

回答No.76

bururutti-2

Ｎｏ．７２です。

＞bururutti-2 さんのNo.72は
＞9派にとっては
＞6÷2(1+2) = 6÷2×(1+2)　なので
＞(1)a÷2×(1+2)において、a=6の時はいくつか。
＞(2)6÷a×(1+2)において、a=2の時はいくつか。
＞(3)a÷b×(1+2)において、a=6,b=2の時はいくつか。
＞と、なりますから　9　を否定することはできません。

いや、弟は「文字式と数式は計算方法が違う」という意見なので、弟の方法で計算すると次のようになります。

・数式の場合
６÷２（１＋２）＝９

・文字式の場合
(1)ａ÷２（１＋２）＝６÷｛２（１＋２）｝＝１
(2)６÷ａ（１＋２）＝６÷｛２（１＋２）｝＝１
(3)ａ÷ｂ（１＋２）＝６÷｛２（１＋２）｝＝１

ここで、弟に「何故括弧が登場したか」を問うたのですよ。
この問いの答えは簡単には思い付かないから、これで弟の意見は崩す事が出来ると思います。
・・・だけど弟と違う見解で「９」にしたのなら、この方法では崩す事が出来ないでしょうね。

お礼

学校教育否定型の方は文字式の場合も答は９ですから厄介です。
回答ありがとうございます。

回答No.75

masandokun

2(1+2)という表記が式であるならば、答えは1つしかありません。
3が消えたのは悲しいけど、そういえば7というのも見たことがありますね。

bururutti-2 さんのNo.72は
9派にとっては
6÷2(1+2) = 6÷2×(1+2)　なので
(1)a÷2×(1+2)において、a=6の時はいくつか。
(2)6÷a×(1+2)において、a=2の時はいくつか。
(3)a÷b×(1+2)において、a=6,b=2の時はいくつか。
と、なりますから　9　を否定することはできません。
9を崩すためには
「定数項が括弧で囲まれているとき、括弧の中を文字式とみなす」
というようなルールを見つけるのが早道かと。
この式が許されるのだったら、このようなルールも見つかるかもしれません。

お礼

ルール探しは難しそうですね。
回答ありがとうございます。

回答No.74

Knotopolog

Ｎｏ.３３，Ｎｏ.３５　です．

全く，同感！！

alice_44 さんが，ANo.73 に書かれている事に同感です．

また，ANo.72 に，bururutti-2 さんが書かれた内容は，
貴重であり，非常に重要です．

因みに，私は最初から，「１」派です．

お礼

私も同感です。
回答ありがとうございます。