6÷2（1+2）＝？

質問

「ガジェット通信」 2011年5月6日より

「6÷2（1+2）＝？」という小学生レベルの問題？　大勢の人が「１」と答え半分以上が不正解

http://getnews.jp/archives/114382

私も最初は１と答えました。正解は9ということです。
小学生レベルの問題に間違うとは・・・と落ち込んだのですが・・・
やはり1で合っているような気がしてなりません。

本当の正解はなんでしょうか？

回答No.30

boiseweb · ベストアンサー

#22です．たびたび失礼します．

「9が正解」と主張する重要な前提の一つは『「×」と「÷」は代数的優先順位が同一であり，それゆえ左から順に解釈するのが正しい」ですが，この前提にはどの程度の「妥当性」というか「説得力」があるでしょうか．私は，この前提の説得力はものすごく弱いと思います．

割り算の記号「÷」がユニバーサルな数学記号ではなく，世界では「÷」を常用する地域の方が少ないことはよく言われています．その少ない地域のひとつである日本でさえ，学校の授業で「÷」を使うのは小学校算数までで，中学校以降では急速に分数形式の記法に移行して「÷」は遠のけられます．
日本の小学校算数で「÷」を使っているのも，代数の体系の一部というより，慣用として使われている割り算の表記法を教えるという程度の意味しかないように，私には思えます．

そのような，しょせん「方言」程度のローカルな慣用記号である「÷」について，『他の演算記号と混用したときの優先順位をどこに位置づけるべきか』という問い自体がそもそもナンセンスで，それをどのように規約しようとも，そんな規約は数学のユニバーサルなルールにはなり得ません．
それに，「÷」と他の演算記号が複雑に混じり合った式というのは，そもそも難解というか「醜悪」なものです．そして，その醜悪さは，演算記号の優先順位づけで対処するレベルのものでなく，最悪でも「括弧を使う」ことで，そして理想的には「分数形式で書く」ことで根本的に解決すべきです．

それでは，なぜ（少なくとも日本の小学校算数で）「÷」は「×」と同順位というルールが存在するのか，また，その根拠は何か？
私の考えは「小学生に複雑な式の計算練習をさせるための『方便』あるいは『必要悪』」です．

「÷」と他の演算記号が複雑に混じり合った（実用性の観点からは劣悪な）式をあえて書いて，演算記号の優先順位の規約だけを頼りに解釈して計算することの意義として，私がただ一つ納得するのが「小学生の計算練習」です．小学生に複雑な式の計算を反復練習させる目的で，あえて複雑な式を作るために「÷」を組み込みたいが，そのためには「÷」の優先順位を規約する必要がある，ということで，方便として『「÷」は「×」と同じ優先度』という無難な規約を設けて，小学校算数ではその規約で統一した，という程度の問題だと，私は考えます．
言ってみれば，「÷」の演算優先順位が解釈に影響するような式自体が「しつけ箸」とか「幼児用自転車の補助輪」としての値打ちしかなくて，トレーニングという目的を達した段階で，演算優先順位の規約もろとも捨て去るのが順当，というのが，私の考えです．中学校数学で「÷」を脱却して分数形式に移行する理由も，そういう流れで理解すべきでしょう．

6÷2（1+2）を「1」と答える，あるいは「数式そのものがあいまいだ」と文句をつけるのは，正しく「補助輪」を捨て去った大人としての自然な態度であって，恥じる必要はないと思います．
むしろ，「9が正解」と主張して「1」と答えた人を笑う大人のほうが，「補助輪つき自転車」にしがみついて離れられない「みっともない大人」のように思えます．

お礼

私も遠い記憶では、数学を習った瞬間に今まで抱えていた算数の煩わしさから一気に解放された覚えがあります。
この問題は÷という算数的表現を使うなら×の省略という数学的表現を用いるべきではないでしょう。
算数的表現と数学的表現を混合することで意図的に惑わす「醜悪」な数式といえるのかもしれません。

ただ、No.21さんの紹介サイトにもありましたが中学数学では÷という表現が使用されているようです。
http://math.005net.com/yoten/sikinok2.htm
（といっても私自身現在の中学数学事情に詳しいわけではありません）

この記事自体も「算数も分からない大人が多い」みたいに悪意を感じますが、それゆえにこうして楽しみながら反論し思わぬ理解を深める機会になっているのかもしれません。
回答ありがとうございました。

回答No.103

famfunfun

除算を乗算に翻訳？すると以下になります。

６×１／２×（１＋２）

なので、

６×（１＋２）／２

となり、答えは『９』になります。

カッコ内の計算を優先するの次に前（左）から順に計算するという約束もあった様な気がします。

回答No.102

hyogo-japan

解答せよという事ですが、問題の作り方が納得いかない

　普通は　3÷2（1+2）＝？　　こんな計算式は無い

　正しい書き方は　3÷2×(1+2)=？　とすべきです

お礼

回答ありがとうございます。

回答No.101

soupry_printe

「(1+2)」に「÷2」をかけてるのを忘れると、答えが「1」になっちゃうみたいです。

「6-2(1+2)=？」みたいな問題だとわかりやすいんですけど、ひっかけ問題ぽいですね。

回答No.100

noname#150695

100ゲット
x(2+3)=10とする
x×(2+3)が成り立つならば2+3=10/x、1/5=x/10、2=x
また
x(2+3)=10、2x+3x=10、5x=10、x=2
とx(y+z)⇔x×(y+z)が成り立つので四則演算から6÷2(1+2)=6÷2×(1+2)=3(1+2)=3+6=9

回答No.99

kokoperi24

とても興味深いですね。

サイトの解説でごもっとだと思います。
いろいろな方が式のルールについて詳しくおっしゃっておりますが、よく式を見てみることでまた違った理解を得ると思います。

6÷2(1+2)＝...

では、改めて与式を解こうと思います。二つの方法をそれぞれ解説します。

(1)
6÷2(1+2)＝1

この(1)のやり方は、次のような解釈で導かれます。
・÷の表記により÷より後ろのすべてで6を割る。
6÷{2(1+2)}＝1

(2)
6÷2(1+2)＝9

この(2)のやり方は、次のような解釈で導かれます。
・通常の左から順々に計算を行う。
6÷2×3＝9

これらの(1)、(2)を分数でまとめ整理してみるとまた分かりやすいです。（添付画像参照）
また、どちらが与式にふさわしいか見比べてみてください。

私は(2)が正解だと思います。
式の省略された部分も読み解いて意味を導けば、『6』を割るのは『2(1+2)』ではなく『2』のみだと気づくと思います。

No.100を踏むのは誰でしょうかね。。

回答No.98

__proto__

私は下記の掲示板の George S さんの意見にほぼ賛成です。

http://forums.hannity.com/showpost.php?p=96120111&postcount=428
>There is no answer. No single answer.
>The original problem 6÷2(1+2) is not a well-formed formula. As such it must first be translated into a WFF.
>The expression 2(1+2) is not a WFF. 2(3) is meaningless in mathematics. Similarly the "formula" 5 5 or 5 (5) means nothing.
(訳)
>答えはない。1つではない。
>元の問題 6÷2(1+2) は整式ではない。よってまず整式に翻訳しなければならない。
>表現 2(1+2) は整式ではない。2(3) は数学では無意味であり、同様に「式」5 5 や 5 (5) も意味をなさない。

ここでいう「整式」とは「整論理式」のことですが、それはさておき。
人によっては 6÷2(1+2) は 9 または 1 だと思われるかもしれません。
それはその人の解釈において正しいのですが、全員が納得する解釈というのは存在しないと思います。

Google 電卓や Wolfram Alpha は 9 と解釈しますが、これもまた 1 つのプログラムによる解釈であって、絶対的に正しいというものではありません。
http://www.google.co.jp/search?q=6%C3%B72(1%2B2)
http://www.wolframalpha.com/input/?i=6%C3%B72(1%2B2)

なお Wolfram Alpha の解釈によれば、5 5 や 5 (5) も正しい「式」ということになります。
http://www.wolframalpha.com/input/?i=5+5
http://www.wolframalpha.com/input/?i=5+%285%29

そもそも「+, - よりも ×, ÷ を先に計算する」といった「演算子の優先順位」は人間が数式を書くときの「約束事」であって、数学的必然性があるものではありません（もちろん、そう決めると便利だという一定の根拠は存在します）。

このような「約束事」が通用するのは中置記法に限った話で、前置記法（ポーランド記法）や後置記法（逆ポーランド記法）を使えば演算子の優先順位を決める必要はありません。

たとえば 6÷2(1+2) だったら × ÷ 6 2 + 1 2 や ÷ 6 × 2 + 1 2 と書けば曖昧さはないわけです。

12ab ÷ 4b のような文字式の場合は別として、6÷2(1+2) の ÷ を先に計算すべきなのか、それとも（暗黙の）× を先に計算すべきなのかという広く受け入れられた「約束事」は存在しないと思います。

人によって解釈が異なるような曖昧な式を「式」とは呼べないでしょう。

何をもって「正しい式」とするかは「式」の定義によりますが、たとえば次の規則によって「式」を定義したとします。

規則 1. 数字 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, ... は「式」である。
規則 2. α, β が「式」ならば、(α + β), (α - β), (α × β), (α ÷ β) も「式」である。
規則 3. 以上の規則で作られるもののみが「式」である。

BNF (バッカス・ナウア記法) に慣れた方には以下の方が読みやすいでしょう。

<数字> ::= 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | ...
<式> ::= <数字> | (<式> + <式>) | (<式> - <式>) | (<式> × <式>) | (<式> ÷ <式>)

もちろんこれでは私達が通常使うような「式」を定義できているとはいえないのですが（数字が 0, 1, 2, ... しか含まれないので πr^2 すら「式」ではありません）、仮にこのように「式」を定義するならば、6÷2(1+2) は「式」ではないということになります。

9 を意味したいならば ((6 ÷ 2) × (1 + 2))、1 を意味したいならば (6 ÷ (2 × (1 + 2))) と書かなければなりません。

それでは 6÷2(1+2) が正しい「式」になるように定義を拡張すべきかというと、6÷2(1+2) のような式は通常の数学にはまったく現れないわけですから、このような記号の羅列を「式」として新たに定義する必要はないでしょう。

回答No.97

MagicianKuma

興味深く拝見しました。まだ締め切られていないようなので一言。
もうずいぶん昔の話ですが、中学生のころ以下のように習いました。
ab や 2a　などは　乗算記号ｘが省略されているだけでなく、ｘと2項をくくる括弧()が省略されているのだと。
なので、今まで疑いなく。6/3a = 6/(3ｘa) =2/a と思っていました。
文字式とか数字だけの式とかの区別は気にせず、6÷2(1+2)=6÷(2ｘ(1+2))=1　でよろしいかと。

要は記号ｘの省略ではなく、ｘと（）の省略表現なのだと。

回答No.96

snikyun

私の感覚では「1」と答える方が妥当。

問題の6÷2(1＋2)ですが
a÷bcの形ですから、6÷{2×(1＋2)}にすべきであると考えます。
つまり
6÷(2×3)
＝6÷6
＝1

A÷BCの場合、乗算記号を書くならA÷(B×C)っていう定義があったと思いましたが。

A÷BCって書くことがあるけれど、この「BC」の部分「CB」とは普通書きません。
A÷CBとは書かないのですが、9と主張する人の意見を正しいとするなら、
A÷BCとA÷CBは、A÷B×Cと、A÷C×Bですから、違う物として扱うことになります。
もっともA÷C×Bは普通AB÷Cと書きますけど。

確かに、「×」記号が省略してあるのでしょうが
A÷BCを「×」記号を省略せずに書くのならA÷(B×C)としなくてはいけないんです。

2ABでも3ACでも、ADでも良いですが、こういう場合
頭に数字、次にアルファベット、という感じに書く。
2abとは書くがa2bやba2とは書かないんです。

ということは、少なくとも、この項においては、交換法則が成り立たなくてはいけません。
であれば、あえて書いていないがカッコがある物として扱うべきでしょう。

2(1＋2)という書き方がおかしいという指摘もあります。
「数字の場合は×記号は省略しない」っていうのがその主張。
だけど、これは意味を取り違えているのではないか、というのが私の考え。
「数字の場合」っていうのは「2×2」を「22」にしたり「1×3×4」を「134」としたり、ということは「できない」です。
当たり前ですね。でなければ「111」は「百十一」「十一かける一」「一かける十一」「一かける一かける一」のどれだかわからなくなってしまいます。
実際、2√2なんていう書き方はするのですから、2(1＋2)の場合「カッコという記号を含む」ので「2(1＋2)」という書き方はありでしょう。

そんなに文句があるなら
6÷2(1＋2)
ではなく
6a÷2a(a＋2a)
にすれば文句は無いですよね。(言うまでもなくa=1とします)

ちなみに9と主張する人が"6a÷2a(a＋2a)"に違和感を持たないなら、自らの「9」という主張が崩れます。
9とする人の意見が正しいなら
6a÷(2a)(a＋2a)
にしないといけません。

9とする人の意見が正しいなら
a^3÷a^2＝a^3ですか？
そんなことってあるのかな…

お礼

回答ありがとうございます。

回答No.95

zxc963753zxc

まず1+2＝3

そして、左から、6÷2*3＝9

6*2+3の問題と同じ？

回答No.94

中村 拓男（@tknakamuri）

まだ受け付けているようなので、アメリカの教育者のサイト
の記事を見つけましたので載せておきます。

http://www.purplemath.com/modules/orderops.htm#top
The Order of Operations: PEMDAS

これでは、「カッコと数値の間の掛け算は÷より「強い」」
と解説されています。おおむね日本の中学と同じ考え方だと
思います。

この記事では
16 ÷ 2[8 – 3(4 – 2)] + 1 = 5

となっていました。

お礼

回答ありがとうございます。