常微分方程式

質問

LdI/dt+RI=E。sinωt
I(0)=I。
I=I(t)を求めよ、
について求め方がわかりません。求め方と解答お願いします。

回答No.2

info22_ · ベストアンサー

t領域で解く方法とs領域で解く方法(ラプラス変換法)がポピュラーです。

【ラプラス変換法による解法】
LdI/dt+RI=E。sinωt
ラプラス変換してs領域に変換して
(Ls+R)I(s)-LIo=Eoω/(s^2+ω^2)
I(s)=LIo/(Ls+R) +Eoω/{(Ls+R)(s^2+ω^2)}
=Io/{s+(R/L)} +(Eoω/L)/[{s+(R/L)}(s^2+ω^2)]
=Io/{s+(R/L)} +{(EoωL)/(R^2+(ωL)^2)}/{s+(R/L)}+[Eoω/{R^2+(ωL)^2}](R-sL)/(s^2+ω^2)

I(t)=[Io +{(EoωL)/(R^2+(ωL)^2)}] e^(-Rt/L) +Eo(Rsinωt-ωLcosωt)/{R^2+(ωL)^2}

【t領域による解法】
LdI/dt+RI=E。sinωt
LdI/dt+RI=0の一般解は　I1=Ce^(-Rt/L)
LdI/dt+RI=Eosinωtの特殊解をI2=Asinωt+Bcosωtとおくと
(AR-LBω)sinωt+(BR+LAω)cosωt=Eosinωt
AR-LBω=Eo, BR+LAω=0
∴A=EoR/{R^2+(ωL)^2},B=-EoωL/{R^2+(ωL)^2}
I2=Eo(Rsinωt-ωLcosωt)/{R^2+(ωL)^2}
I=I1+I2
Io=C-{EoωL/(R^2+(ωL)^2)}
∴C=Io+{EoωL/(R^2+(ωL)^2)}

∴I=[Io+{EoωL/(R^2+(ωL)^2)}] e^(-Rt/L)+Eo(Rsinωt-ωLcosωt)/{R^2+(ωL)^2}

【検証】２つの異なる解法による別解の結果が一致したので計算は正しいことが確認された。

回答No.1

spring135

定数係数の一階常微分方程式です。
ＲＬ直列回路に正弦波電圧がかかった時の電流を求めることです。
下記urlにあるように
http://hooktail.sub.jp/mathInPhys/constOneLinearDiffEq/index.html
dx/dt+ax=Q(t)
の解は
x=e^(-at){∫e^atQ(t)dt+C}
で与えられます。Ｃは積分定数です。
問題は
a=R/L, Q(t)=(E。/L)sinωt
です。
sinωt=Im(e^iωt)
のような複素数を使って積分を行います。
きちんと計算をしていけば解に達しますが、
ラプラス変換を知っていればこれを使うのが便利です。
答えは下記url参照

http://www.jeea.or.jp/course/contents/01134/