微分方程式の解き方(たたみこみ)

質問

たたみこみを用いた微分方程式の解き方について教えて下さい。
y''-4 y'+5y = {1(0<t<1), 0(t>1)}
y(0)=y'(0)=0
Q(s)=1/(s^2-4s+5)=1/((s-2)^2 + 1)
q(t) = e^(2t) sin(t)

i)0<t<1
y(t) = ∫[0,t] { e^2(t-τ) sin(t-τ) } dτ

ii)t>1
y(t) = ∫[0,1] { e^2(t-τ) sin(t-τ) } dτ

となったのですが考え方は合っているのでしょうか？
そしてi),ii)についてこの積分のやり方が分かりません。

回答No.2

info222_ · ベストアンサー

Q(s)はインパルス応答ですね。
q(t)=L^-1{Q(s)}=e^(2t) sin(t)

Q(s),q(t)は合ってます。

>i),ii)についての考え方は合っているのでしょうか？
合っています。

i)0≦t<1　←等号を入れる
>y(t) = ∫[0,t] exp(2(t-τ)) sin(t-τ) dτ
=(1/5)+(1/5)exp(2t) (2sin(t)-cos(t))

ii)t≧1　←等号を入れる
>y(t) = ∫[0,1] exp(2(t-τ)) sin(t-τ) dτ
=(1/5)exp(2t) (2sin(t)-cos(t))-(1/5)exp(2(t-1)) (2sin(t-1)-cos(t-1))

となります。

（参考URL）
∫exp(2x)sin(x)dxの不定積分の求め方は、部分積分法で求めることができます。求め方は以下のURLに載っています。
ttp://w3e.kanazawa-it.ac.jp/math/category/sekibun/example/henkan-tex.cgi?target=/math/category/sekibun/example/int-e^xsinx.html

お礼

ご回答ありがとうございます.
たたみこみについて理解出来ました!!

回答No.1

kiyos06

>考え方は合っているのでしょうか？
1)合っていると思います。

2.1)y = ∫ [0,t] e^(2(t-u)) sin(t -u) du
2.2)y = ∫ [0,t] e^(2t) e^(-2u) (sint cosu -cost sinu) du
2.3)y =e^(2t) ( sint ∫ [0,t] e^(-2u) cosu du -cost ∫ [0,t] e^(-2u) sinu du )

3.1)y = ∫ [0,1] e^(2(t-u)) sin(t -u) du
3.2) (2.3)の積分が定積分になるので、定数となる。

参考URL：

http://note.chiebukuro.yahoo.co.jp/detail/n198319