筒状の型抜き器で、球は作れる！？

質問

円筒形の型抜き器で
十分な大きさの立方体を正面・横・上からくりぬいたとき、
できあがる立体は、球体でしょうか。
それとも、球体以外の立体でしょうか。

気になってしかたがないのですが、
実験しようにも、厳密に検証できるいい材料がそろえられません。

どなたか理由も含めて教えていただける方がいらっしゃいましたら、
よろしくお願いいたします。

回答No.3

root_16 · ベストアンサー

半分、半円で考えた方がビジュアル的には分かりやすいですね。

・正面から抜いて、半円のカマボコ型になる、底辺は正方形
・横面から抜いて、正面、横面から見ても半円になるけど、底辺は正方形
・ここで良くイメージすると、この時点で底辺が正方形なので、
　上から円形で抜いたとき、正方形の頂点に近い部分に垂直方向の
　「厚み」が出ることが分かる。よって球にはならない。

なので、球体以外の立体になると直感的に思います。
数学的な回答でなくてすみませんが。

お礼

ありがとうございます。
半球で考えることで、ぐっと頭の中で考えやすくなりました。

回答No.4

f272

> 円筒形の型抜き器

半径1とします。

> 十分な大きさの立方体

-1≦x≦1　かつ　-1≦y≦1　かつ　-1≦z≦1
の立方体とします。

> 正面・横・上からくりぬいたとき、

円筒の中心軸を，それぞれx軸，y軸，z軸に重なるようにします。

> できあがる立体

x^2+y^2≦1　かつ　y^2+z^2≦1　かつ　z^2+x^2≦1 ....(A)
ですね。

> 球体

x^2+y^2+z^2≦1 ....(B)
ですね。

例えば
x=0.3
y=0.4
z=0.9
であれば(A)は満たすけど，(B)は満たさない。つまり(A)の方が少し大きいということです。

-1から1までの範囲で一様な乱数を3000000個作って，それを3個づつ組にして，それをx座標，ｙ座標，z座標と思えば，点が1000000個できます。実際に実験してみると，このうち(A)を満たすのは585983個あって，(B)を満たすのは523810個あった。
このことから(A)の体積は0.585983であり，(B)の体積は0.523810だということが分かる。ちなみに(B)の正確な体積は(4/3)π/8=0.523599だから，さきほどの体積にはこの位の誤差がある。

お礼

ありがとうございます。
f272さんの論証では、「（A）を満たすが（B）を満たさないものがある」ということを利用して
おられましたが、（A）、（B）どちらか一方のみを満たす点が一つでも存在する時点で
両立体が一致しないことが言えますね。

回答No.2

8pkarin

気になりますね～。

粘土と空き缶で試してみては？

何となく球体に近いものにはなりそうですよね。
三方向以上からも、やると更に近づきそうな。

子供が泥だんごの成形で、牛乳瓶の口でぐるぐるやりますよね、あのイメージが…。

回答No.1

chie65536（@chie65535）

＞球体以外の立体
です。