導関数の記号をｄｙ／ｄｘで表す理由

質問

導関数は分数みたいにｄｙ／ｄｘと表しますが、何故このような表し方をするのでしょうか？
分数みたいに計算出来て便利なのですが、分数と混同してしまいそうです。
それならｄｙ／／ｄｘのように分数の横線を二重にして、分数ではないことが視覚的に分かる様にしてほしいのですが、何故そうしないのでしょうか？

回答No.5

sanori · ベストアンサー

こんにちは。

位置（道のり）をｘ、時刻をｔとしたとき、
ｘ(t)　＝　ａｔ^2　＋　ｂｔ　＋　ｃ
と表せる直線運動があるとします。

時刻ｔが３（秒）から５（秒）までの間の平均速度は、
みちのり　÷　じかん
　＝　（ｘ(5)　－　ｘ(3)）／（５－３）
　＝　｛（２５ａ＋５ｂ＋ｃ）－（９ａ＋３ｂ＋ｃ）｝／２
　＝　（１６ａ＋２ｂ）／２
　＝　８ａ＋ｂ
ですよね。

同様に、
時刻ｔが　Ｔ　から　Ｔ＋ΔＴ　までの間の平均速度は、
Δｘ／ΔＴ
　＝　｛ｘ(T+ΔT)－ｘ(T)｝／ΔＴ
　＝　［｛ａ（Ｔ＋ΔＴ）^2＋ｂ（Ｔ＋ΔＴ）＋ｃ｝－（ａＴ^2＋ｂＴ＋ｃ）］／ΔＴ
　＝　［（ａＴ^2＋２ａＴΔＴ＋ａΔＴ^2＋ｂＴ＋ｂΔＴ＋ｃ）－（ａＴ^2＋ｂＴ＋ｃ）］／ΔＴ
　＝　（２ａＴΔＴ＋ａΔＴ^2＋ｂΔＴ）／ΔＴ
　＝　２ａＴ＋ａΔＴ＋ｂ

ここで、ΔＴという一定幅の時間での平均速度ではなく、瞬間速度を求めるために、
ΔＴ⇒０
の極限を考えるとすると、その代わりΔＴの表記をｄＴに変更して、
ｄｘ／ｄＴ　＝　２ａＴ＋ｂ
となります。
ｔにどのようなＴを割り当てても同じなので、Ｔをｔに書き換えれば、結局
ｄｘ／ｄｔ　＝　２ａｔ＋ｂ
となります。

以上のことからわかると思いますが、ｄｙ／ｄｘ　や　ｄｘ／ｄｔ　というような表記の意味は、紛れもなく変化の割合（分数、比）です。

お礼

なるほど、一応 dy/dx は分数という認識でよいのですね。
回答有難うございました。

回答No.7

hugen

高木貞治の解析概論
↓
http://ja.wikisource.org/wiki/%E8%A7%A3%E6%9E%90%E6%A6%82%E8%AB%96/%E7%AC%AC2%E7%AB%A0/%E5%BE%AE%E5%88%86_%E5%B0%8E%E5%87%BD%E6%95%B0

お礼

サイトを紹介していただき有難うございました。

回答No.6

Tofu-Yo

性質が酷似しているのでほとんど混同してＯＫ。混同しても大丈夫だからこそ同じように表現している、って考えて構いません。

お礼

混同しても構わないのですね。
回答有難うございました。

回答No.4

rukuku

こんばんは

＞視覚的に分かる様に
記号ですから、意味を理解している人には分かるようになっています。
ｄｙ／ｄｘは
lim Δｙ／Δｘ
(Δｘ→０ )
を省略した表記です。

Δでなくdだから、単純な分数ではないと、認識されます。

＞何故そうしないのでしょうか？
bururutti-2 さん提案の「//」の代わりに「d」となっていていているだけです。
微積分を扱う人は、「ｄ」がついていたら「単純な割り算でじゃない」と考えます。
「ｄ」で微分だと分かりますので、プラスして「／／」というような識別は必要ないと思います。

お礼

なるほど、dx や dy のｄに当たる部分が、ここでいう//なのですね。
回答有難うございました。

回答No.3

alice_44

混同するも何も、dy/dx は、dy と dx の比。
もともと分数ですからね。
関数 x と y に作用素 d を施した
微分形式 dx と dy について、
その比 dy/dx が関数になる場合を
「y は x で微分可能」と言うのです。
この記法から派生して、
y から dy/dx への写像を d/dx と書いたりします。
便利だし、かなり普及しているのですが、
ややワルノリの感もある書き方です。

お礼

dy/dxは一応分数だったのですか。
しかし、dy と dx の比といわれても、式で表すと
(dy/dx)＝lim(⊿x->0,⊿y/⊿x)
となり、dy と dx に分けられるとは思えないのですが・・・

回答有難うございました。

回答No.2

puusannya

別の方のところでも書きましたが、ｄｙ／ｄｘというのは、もともとｄ／ｄｘとかいてｘで微分するということを表したのでしょう。だから（ｄ／ｄｘ）ｆ(ｘ)と書くのではありませんか。
もっと前に戻ると、ｄｙ／ｄｘ＝lim(△ｘ－＞０)（△ｙ／△ｘ）から出発しているのですね。
これは分数の極限値ですから、分数的な性質をも兼ね備えているのも納得はできますね。
でも決して分数ではありませんね。ｙをｘで微分して、それをｘで積分するとｙに戻りますね。
確かに分数の計算をしたような形になって便利ですね。
特にその形にこだわらなくても、単純に分数のような計算もできると思って使えばいいことではないでしょうか。

お礼

確かに計算し易い形になっているわけだから、特にこだわる必要もないかもしれませんね。
回答有難うございました。

回答No.1

alwen25

これは、分数ではありませんが
分数のように表せるのです。
dx^2/dx=2x
という書き方も
dx^2=2xdxという書き方も可能です。

高校数学でも、積分の変数変換に
出てきませんか。

お礼

確かにいろんな形で書き表せますね。
やはり分数みたいに表した方が自由自在に扱えるのですね。
回答有難うございました。