数学Aの問題（順列＆円順列＆組み合わせ＆二項定理）

質問

問題数がとても多いですが、宜しくお願い致します。

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【I】 次の問いに答えよ．
(1) 540の正の約数(1および540を含める)の個数はいくつあるか．
(2) 千円札，二千円札，五千円札を用いて一万二千円を支払う．
支払う紙幣の枚数の違いによる支払い方法は何通りあるか．
　 ただし、各紙幣は、使わない札があってもよく、また、何枚使ってもよいものとする．

【II】 赤球1個，白球3個，青球5個，合計9個の球がある．
(1) 9個すべてをテーブル上で円形に並べる並べ方は全部で何通りか．
(2) 白球どうしが隣り合わないよう9個すべてをテーブル上で円形に並べる並べ方は全部で何通りあるか.
(3) 9個のうち7個を選んでテーブル上に円形に並べる並べ方は全部で何通りあるか.

【III】 0と書かれたカードが3枚，1と書かれたカードが2枚，2と書かれたカードが1枚，3と書かれたカードが1枚，計7枚のカードがある．
　　それらを並べて整数をつくる．ただし、1度使ったカードは再び使わないものとする.
(1) 7桁の整数は全部で何通りあるか．
(2) 7桁の整数で偶数であるものは全部で何通りあるか．

【IV】 a＋b＋c＋d＝8を満たす自然数(a,b,c,d)の組の総数は全部で何通りあるか.
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I、IIの(3)、III、IVはどの様にして考えて解いたらよいのかがわかりません。
IIの(1)と(2)は途中までは考えられたのでココに記載しておきます。

まず(1)ですが、そもそも同種類のものが何個もあるので、
それぞれの種類の球を円に並べた時の“通り”をかけて考えれば良いのでしょうか？
この様にして解くと…
赤玉は1個なので1通り
白玉　(3－1)!通り
青球　(5－1)!通り
となり、よって、1×6×24となるため、答えは144通り。
…しかし、実際の答えは3桁ではなく2桁です。
この考えが間違っているのでしょうか？

次に(2)です。
白球が隣り合わないようにということなので、
まず赤球と青球を先にテーブル上に並べてしまう。
そして、白玉を入れられるところは、赤玉と青球の間となるので、
6ヶ所になる。
よって、6Ｃ3となり、答えは20通り。
一応、この様に解けましたが、合っているか心配だったので記載しました。

長々となってしまいましたが、
参考書などを参考にしても解らなかったので、詳しく解説をしていただけると嬉しいです。

（※解くコツのみでも良いのでお願いします。）

回答No.3

nag0720 · ベストアンサー

【I】-(1)
540を素因数分解すると、
540=2^2×3^3×5^1
２が２個、３が３個、５が１個の中から任意に選んで掛け合わせた数が約数になります。選ばない場合もあるから、
3×4×2=24

【I】-(2)
この問題は、総当りで調べるしかないでしょうね。
12,0,0
10,1,0
8,2,0
7,0,1
6,3,0
5,1,1
4,4,0
3,2,1
2,5,0
2,0,2
1,3,1
0,6,0
0,1,2
の13通り

【II】-(1)
赤球が１個しかないのだから、赤球の位置を決めてしまえば、白球3個，青球5個の並べ方の数と同じです。
8C3=56

【II】-(2)
書かれている考え方で合ってますが、始めの赤球と青球を並べる並べ方が１通りしかないことも書いておく必要があります。
6C3=20

【II】-(3)
始めに７個の組合せを考えます。
赤球1個，白球3個，青球3個
赤球1個，白球2個，青球4個
赤球1個，白球1個，青球5個
赤球0個，白球3個，青球4個
赤球0個，白球2個，青球5個
の５通り。
始めの３つの並べ方は(1)と同じ考え方で、
6C3=20
6C2=15
6C1=6
４番目の並べ方は、白球3個が隣り合う場合、白球2個だけが隣り合う場合、白球が隣り合わない場合、に分けて考えます。
白球3個が隣り合う場合は、１通り
白球2個だけが隣り合う場合は、隣り合わない１個の位置を決めれば、5C1=5
白球が隣り合わない場合は、１通り
５番目の並べ方は、白球2個の位置関係を見れば、隣り合っているか、１つ離れているか、２つ離れているかの３通り
以上から、
20+15+6+7+3=51

【III】-(1)
７枚のカードの並べ方の数は、
7!/(3!2!)=420
そのうち、１番目が０である並べ方の数は、
6!/(2!2!)=180
以上から、
420-180=240

【III】-(2)
(1)と同じ考えかたで、７番目が０の場合と２の場合に分けて考えます。
７番目が０の場合、残り６枚のカードの並べ方の数は、
6!/(2!2!)=180
そのうち、１番目が０である並べ方の数は、
5!/2!=60
７番目が２の場合、残り６枚のカードの並べ方の数は、
6!/(3!2!)=60
そのうち、１番目が０である並べ方の数は、
5!/(2!2!)=30
以上から、
(180-60)+(60-30)=150

【IV】
(a-1)＋(b-1)＋(c-1)＋(d-1)＝4
とすれば、４つのものから４つを選ぶ重複組合せです。
4H4=7C4=35

お礼

調べてみたところ、
3×4×2=24の出し方を見つけることが出来ました。
とても解りやすかったので助かりました！

補足

解りやすいご回答、ありがとうございます。

【I】の(１)についての質問です。
540を素因数分解までは解けましたが、
そのあとの3×4×2=24というところが解りません；；
塾の先生からは、「2,2,3,3,3,5をそれぞれ並べて(?)考える。」と言われましたが、
正直なところ正しい個数にならなくて困っています。

ちなみに、この他の問題はしっかり解けました！

回答No.2

sono0315

Ⅲは一番上の桁に1～3しかおけませんね。
あとは樹系図的に攻めればいけそうですが。

Ⅳは全てのパターンを出し
1 1 1 5
1 1 2 4
1 2 2 3
2 2 2 2
1 1 3 3
abcd並び替えを考慮すると？

自力でやることで必ず力になります。頑張って下さい

お礼

解き方のコツを教えて下さってありがとうございます。
自分の力で考えることができました。

回答No.1

sono0315

Ⅰとか小学生レベルですよ。
まず自分で考えてみましょう。