【I】-(1)
540を素因数分解すると、
540=2^2×3^3×5^1
２が２個、３が３個、５が１個の中から任意に選んで掛け合わせた数が約数になります。選ばない場合もあるから、
3×4×2=24
【I】-(2)
この問題は、総当りで調べるしかないでしょうね。
12,0,0
10,1,0
8,2,0
7,0,1
6,3,0
5,1,1
4,4,0
3,2,1
2,5,0
2,0,2
1,3,1
0,6,0
0,1,2
の13通り
【II】-(1)
赤球が１個しかないのだから、赤球の位置を決めてしまえば、白球3個，青球5個の並べ方の数と同じです。
8C3=56
【II】-(2)
書かれている考え方で合ってますが、始めの赤球と青球を並べる並べ方が１通りしかないことも書いておく必要があります。
6C3=20
【II】-(3)
始めに７個の組合せを考えます。
赤球1個，白球3個，青球3個
赤球1個，白球2個，青球4個
赤球1個，白球1個，青球5個
赤球0個，白球3個，青球4個
赤球0個，白球2個，青球5個
の５通り。
始めの３つの並べ方は(1)と同じ考え方で、
6C3=20
6C2=15
6C1=6
４番目の並べ方は、白球3個が隣り合う場合、白球2個だけが隣り合う場合、白球が隣り合わない場合、に分けて考えます。
白球3個が隣り合う場合は、１通り
白球2個だけが隣り合う場合は、隣り合わない１個の位置を決めれば、5C1=5
白球が隣り合わない場合は、１通り
５番目の並べ方は、白球2個の位置関係を見れば、隣り合っているか、１つ離れているか、２つ離れているかの３通り
以上から、
20+15+6+7+3=51
【III】-(1)
７枚のカードの並べ方の数は、
7!/(3!2!)=420
そのうち、１番目が０である並べ方の数は、
6!/(2!2!)=180
以上から、
420-180=240
【III】-(2)
(1)と同じ考えかたで、７番目が０の場合と２の場合に分けて考えます。
７番目が０の場合、残り６枚のカードの並べ方の数は、
6!/(2!2!)=180
そのうち、１番目が０である並べ方の数は、
5!/2!=60
７番目が２の場合、残り６枚のカードの並べ方の数は、
6!/(3!2!)=60
そのうち、１番目が０である並べ方の数は、
5!/(2!2!)=30
以上から、
(180-60)+(60-30)=150
【IV】
(a-1)＋(b-1)＋(c-1)＋(d-1)＝4
とすれば、４つのものから４つを選ぶ重複組合せです。
4H4=7C4=35
お礼
調べてみたところ、 3×4×2=24の出し方を見つけることが出来ました。 とても解りやすかったので助かりました！
補足
解りやすいご回答、ありがとうございます。 【I】の(１)についての質問です。 540を素因数分解までは解けましたが、 そのあとの3×4×2=24というところが解りません；； 塾の先生からは、「2,2,3,3,3,5をそれぞれ並べて(?)考える。」と言われましたが、 正直なところ正しい個数にならなくて困っています。 ちなみに、この他の問題はしっかり解けました！