球に内接する四面体の半径の問題です。

質問

課題で困っています。
どなたかお時間ある方、お力をお貸し下さい。

半径ｒの球面上に４点ＡＢＣＤがある。
四面体ＡＢＣＤの各辺の長さは、ＡＢ＝√３、ＡＣ＝ＡＤＢＣ＝ＢＤ＝ＣＤ＝２を満たしている。
このときｒの値を求めよ。

よろしくお願いします。

回答No.1

tksmsysh · ベストアンサー

＞ＡＣ＝ＡＤＢＣ＝ＢＤ＝ＣＤ＝２を満たしている。
「ＡＣ＝ＡＤ＝ＢＣ＝ＢＤ＝ＣＤ＝２を満たしている。」として回答しますね。

球面の中心をO,CDの中点をM,ABの中点をNとすると,対称性から中心Oは△ABM上にある。
まず,AM=BM=2sin60°=√3より,△ABMは正三角形となる。

OA=OB=r, OM=√(OC^2-CM^2)=√(r^2-1)

また,MN=√3sin60°=3/2より,

ON=3/2-√(r^2-1)

△ONAに対して,r^2={3/2-√(r^2-1)}^2+(√3/2)^2
⇔√(r^2-1)=2/3 ∴r=√13/3

お礼

ご丁寧にありがとうございます。

入学予定の高校から出されている課題なのですが、返答頂いた内容でsinなどが分かりません。
中３までの内容で解く事は難しいのでしょうか？