大学受験に向けての勉強をしています。数Aの問題です

質問

大学受験に向けての勉強をしています。数Aの問題です。

1.正三角形内の一点から三辺に下ろした垂線の長さの和が5である。この三角形の面積を求めなさい。

2.半径rの球面上に異なる4点A、B、C、Dがある。AB＝CD＝√2、AC＝AD＝BC＝BD＝√5である時rを求めなさい。

この二つの問題がわかりません。
説明をつけて解説お願いします。

回答No.4

birth11 · ベストアンサー

もう一度考え直しました。

1.問題に示された正三角形を△ABCとし、正三角形の一辺の長さをx、
正三角形内の一点を点Pとする。

点Pを三角形の重心とすると、
(△ABCの面積)=△PAB*3…………(1)
また、
△PAB=(1/2){(√3)/2}*x*x/3=(1/2)(√3)*x^2/6………(2)

点Pは重心だから、点Pから辺までの距離は{(√3)/2}x/3
この長さの垂線が3本あり、和が5だから
[{(√3)/2}x/3]*3=5
∴ x=(10/3)√3…………(3)

(1)(2)から
(△ABCの面積)
=[(1/2)(√3)*x^2/6］*3
=(√3)*x^2/4
=(√3)*{(10/3)√3}^2/4 ((3)のxの値を代入)
=(25/3)√3

(答え) (25/3)√3

お礼

ありがとうございます！よくわかりました！

回答No.3

birth11

No.2 です。ごめん。問題よく読んでなかった。忘れてください。

お礼

ありがとうございます！

回答No.2

birth11

とりあえず、1.だけ。

1. 正三角形の一辺の長さをaとし、
正三角形の頂点から下ろした垂線の長さをhとする。

h=(a/2)*(√3) であるから、
3h=5より、
(3a/2)*(√3)=5
∴a=(10√3)/9

求める正三角形の面積をSとすると、
S=a*h/2=(a^2/2)*(√3)/2=(√3)*a^2/4
=［{(10√3)/9}^2/4］*(√3)=(25/27)√3

答え (25/27)√3

お礼

ありがとうございます！

回答No.1

Tacosan

1 は「正三角形の面積」を求めろといっているのに「垂線の長さの和」しか与えられていないということが逆に重大なヒントになる. つまり「垂線の長さの和がわかれば正三角形が一意に決まる」ってこと. であれば, 「垂線の長さの和」が簡単にわかるような位置に点をおいて計算できるということがわかる.

2 は AB と CD が垂直ってことに気付けば図にできるんじゃない?

お礼

ありがとうございます！