基数変換の数学的説明

質問

文系の四大卒です。

ITパスポートという初歩的なパソコン資格の受験用に、10進法を２進法に変換する方法として、「２で割って、余りを下から順に並べる」と教わりました。

「はあ、そうですか」とその場では実際的のこととして鵜呑みにしましたが、内心いまひとつ納得がいきません。このやり方を受験用の方法論でなく、より数学的に説明するとどうなりますか？

回答No.1

178-tall · ベストアンサー

たとえば 4 桁の自然数 N の2 進記法は、
　N = B3*(2^3) + B2*(2^2) + B1*(2) + B0
における、{B3, B2, B1, B0} を列記したものですね。

上式から明らかなように、B0 は N を 2 で割ったときの余り。
割り算の商 N' は、
　N' = B3*(2^2) + B2*(2) + B1
なので、B1 は N' を 2 で割ったときの余り。

…という繰り返し。

お礼

早速の回答ありがとうございました。

・・・ナルホド。　敢えて表現しませんが、少し理解度が深まりました。

回答No.3

tadys

文字列”ABC”をｎ進法として解釈するという事は
ABC => Axn^2 + Bxn^1 + Cxn^0 という数値を表すとする事です。

Axn^2 + Bxn^1 + Cxn^0 を ２で割ると Axn^1 + Bxn^0 余り C
Axn^1 + Bxn^0 を ２で割ると Axn^0 余り B
Axn^0 を ２で割ると 0 余り A
となって 余りを並べると ”ABC” となります。

XYZ(10)で10進数をABC(2)で2進数を表すとして、
10進数の”XYZ”が2進数の ”ABC”に変換すされるばあいは
最初はどんな2進数になるか分からないので
XYZ(10) = ???(2)
２で割ると aaa(10) 余りC ＝ss（２） 余りC
（2で割った時の余りは10進でも2進でも変わらない）
( aaaやssがどんな表記になるかは具体的な数値により変わる）
aaa(10) ＝ sss(2) を2で割ると bb(10) 余り B ＝ ｔ（2） 余り B
bb(10) ＝ ｔ（2） を2で割ると 0 余り A ＝ 0 余り A
となります。
つまり２で割った時の余りについては10進数と2進数で差がないので、
10進数で２で割る操作を繰り返して余りを求めれば２進数に変換できるのです。

同様に３進数や４進数、５進数なども有ります。
コンピュータの世界では８進数と１６進数が良く使われます。
基数に関しては正の整数である必要は無く、０以外で有ればOKなので、実用性は別として、変な進数の表記を考えることができますよ。

お礼

書き込みありがとうございました。

数学って面白そうですよね。「博士の愛した数式」で数学に興味を持ちました。^^;

補足

冒頭の一文「文字列ABC・・・？」　でちょっとつまずいてしまいました。

回答No.2

edomin7777

2進数を10進数に変換するとき(「()」で、進数を表しています。)
(1111011)2
=(1*2^6+1*2^5+1*2^4+1*2^3+0*2^2+1*2^1+1*2^0)10
=(123)10
で変換されるのは判りますよね？
このとき元の2進数は
(1111011)2
=1*2^6+1*2^5+1*2^4+1*2^3+0*2^2+1*2^1+1*2^0
=2*(2*(2*(2*(2*(2*(1)+1)+1)+1)+0)+1)+1
と表すことが出来ます。

2で割ったときは外側の余りから最初に現れてきます。
これが、2で割った余りを下から上に読んでいくと2進数に変換される理由です。

こんな説明で判ります？

不十分だと思うので、判らなかったら補足等お願いします。

お礼

ご教示ありがとうございます。

「余り」が桁の数字として表示されてしまうという（文系的な）違和感が、数学のロジックを邪魔しているような気がします。（こんな説明で判ります？^^;）