数IIIの部分積分法(定積分)について

質問

不定積分の部分積分もそうなのですが、微分構造を見つける際のコツなどはありますか。
今青チャートをやっているのですが、そのコツ当が省略表記されていてわかりません。

また、x^nsinxのような形で表記されている場合、どちらを微分構造にすればよいのでしょうか。
その他にもこのようなパターンがあった場合、どちらを優先して微分構造で表記すればいいのかを教えてください。

回答No.1

WiredLogic · ベストアンサー

微分構造というのは、部分積分するときの、(～)' の形にするところ、のことですか？

原則はいくつかあるといえば、ありますが、アテにしすぎると、足元をすくわれることも多いので、すばやく上手に試行錯誤できるようになるトレーニングをした方がいいですよ。

ハズレがない範囲なら、そもそも積分がものすごく難しい部分は、その微分構造にできませんし、このままでは、積分が難しいけど、微分すれば、積分が楽になるような部分があれば、それは微分構造にしないのが正解。

質問の、(x^n)*sinxなら、sinxは微分しても積分しても、難しくなる訳じゃないからどっちでもいい、x^nは積分して次数が上がるのと、微分して次数が下がるのと、どっちが嬉しいか聞かれたら、答えは言うまでもないでしょ。そもそも、(x^n)*sinxをそのまま積分できなくて、部分積分やろうか、って、考えてる訳ですから、どんどん次数が下がって、なくなって、三角関数だけになるといいなぁ、と、考えるのが筋ってもんです。

そういう意味では、e^x や sin,cos は、まぁ、どっちでもいいのは、明らかなので、そこ以外の部分が、微分して簡単になるのか、積分して簡単になるかが、決め手、というのは、アテにしてもいいところでしょう。

どういうパターンがあるか、それを暗記して、というより(しないとできない積分も勿論ありますが)、この場合には、積分しやすい形をめざす、という大原則の方が、役に立つと思いますし、ある程度の試行錯誤しながら、難題かやれば、自然に身に付く
程度のもんですよ。