電気鏡像、電気映像問題

質問

電荷_Qをもつ半径aの絶縁された導体球の中心Oからの距離b(b>a)のところに、点電荷+Qがある。この場合の電気鏡像を求めよ。という問題について質問なんですが、解答には、帯電電荷は-Qであり、ゆえに、-Q"=-Q+Q'=-Q(1-a/b)を図の中点Oにおけば、やはり導体球の表面は等電位面となる。

とありますが、導体球が帯電していない場合は、Q'=aQ/bを置けばよいのはわかりますが、なぜ帯電している場合はQ"=-Q+Q'を中心におけばよいとわかるのでしょうか。解答には当然のように書いてありますが……

もしよろしければ証明などをしていただけないでしょうか。

また中心にQ"をおけばよいというのが直観的にわかるのなら、どのように考えればそれがわかるのかを教えていただけないでしょうか

回答No.2

noname#185706

＃１で、絶縁導体球が帯電していない場合の記述が誤解を招くものであったかもしれません。

帯電していない場合には、 鏡像電荷の和は 0 ですから、Ｏから点電荷 +Q の方向へ距離 a^2 / b だけ寄った位置に -Q' を置くと同時に、Ｏに +Q' を置くことになります。

回答No.1

noname#185706

>導体球が帯電していない場合は、Q'=aQ/bを置けばよいのはわかりますが、

置く電荷は Q' ではなく、-Q' です。また、それを置く場所は球の中心Ｏではなく、Ｏから点電荷 +Q の方向へ距離 a^2 / b だけ寄った位置です。

>なぜ帯電している場合はQ"=-Q+Q'を中心におけばよいとわかるのでしょうか。

上記の位置に -Q' を置いただけでは、球の電荷 -Q に等しくなりません。等しくするためには、残りの電荷
-Q" = -Q - (-Q')
　　= -Q + (a/b)Q
　　= -Q{1 - (a/b)}
をどこかに置かなくてはなりません。球の中心に置けば、-Q" による電位は球の表面で一定になり、都合がよいのです。解答にある

>やはり導体球の表面は等電位面となる。

は、そういう意味です。ここで「やはり」となっているのは、「+Q と -Q' によって導体球の表面は等電位面になるが、それと同じく」という意味でしょう。

>また中心にQ"をおけばよいというのが直観的にわかるのなら、どのように考えればそれがわかるのかを教えていただけないでしょうか

上に書いたとおりです。