数学（線形台数？）の問題です

質問

座標空間において原点を通る直線

x=y/2=-z/2

を含み点（0,4,2)を含む平面の方程式を求めてください。

という問題なのですが分かる方いらっしゃいましたらお暇なときでかまいませんのでお願いします。

回答No.3

WiredLogic · ベストアンサー

#1 書いたものです。

ごめんなさい、zを落としてましたm(__)m。#2さんの回答で事なきを得たようですが、単に代入で、大丈夫です。

もう１題の方も、外積を求めて、それを法線ベクトルとみて、平面の方程式に代入、全部、ＯＫです。
演習してたのが、大学の教科書・演習書なら、そうやるのが、想定されている標準的な解法でしょう。

法線ベクトルという考え方は、平面で、あるベクトルに垂直な直線求めるときも使え、そこから、高校の平面の座標の問題を見直すと、簡単になったり、お手軽になったりするものもあります。要領は、(a,b)に垂直な直線の式は、ax+by+c=0。

まとめて整理しておくと、高校生に数学を教えたり、ご自身で数学検定などを受けてみたりするようなことがあれば、役に立つかも。

お礼

ありがとうございました。

回答No.2

alice_44

空間内の平面の方程式は、ax+by+cz=d と書けます。

求める平面は、x=y/2=-z/2 と (0,4,2) を含むのだから、
x=y/2=-z/2 上から二点取って (0,0,0), (1,2,-2) と、
与えられた点 (0,4,2) とを含んでいます。

よって、
a(0)+b(0)+c(0)=d,
a(1)+b(2)+c(-2)=d,
a(0)+b(4)+c(2)=d
が成立ちます。

これを連立一次方程式として解くと、
一式不足のため、a,b,c,d の値ではなく、比だけが求まって、
a:b:c:d=6:-1:2:0 です。

方程式は、両辺に同じ数を掛けても同じ式なので、
a:b:c:d が判れば、平面の式は決まりますね？
答えは、6x-y+2z=0 となります。

ポイントは、「平面は、三点が決まれば決まる」ということ。

お礼

非常に分かりやすいです。ありがとうございます。

補足

見落としていました。alice_44様の回答では6x-y+2zでzが付いてますね。

回答No.1

WiredLogic

線形「台数」は「代数」の書き損ないでしょうが、大学の線形代数の知識は前提にしていいのでしょうか？

高校の範囲で簡単にいけるところまで、まず書くと、

ベクトル(a,b,c)に垂直な平面αは、方程式・ax+by+cz+d = 0 の形で表すことができ、このベクトルのことを、平面αの法線ベクトルといいます。

問題の平面は、原点(0,0,0)を通るので、上の方程式に代入すると、d=0が解ります。

直線の方程式は、x = y/2 = -z/2 = t とおくと、x = t, y = 2t, z = -2t なので、
(x,y,z) = t(1,2,-2) とベクトルの形で表すこともでき、このベクトルを直線の方向ベクトルといいます。
平面αは、この直線を含むので、方向ベクトル(1,2,-2)と平行です。

平面αは、原点と点(0,4,2)を含むので、これを始点・終点とするベクトル(0,4,2)とも平行です。

平面αは、ベクトル(1,2,-2),(0,4,2)と平行なので、αに垂直な法線ベクトル(a,b,c)は、この２つのベクトルと垂直です。
この条件から、(a,b,c)を求められれば、平面αが求められることになります。

そこで、(a,b,c)を高校生式と、大学生式で求めてみることにします。

高校生式にやると、(a,b,c)⊥(1,2,-2)から、(a,b,c)・(1,2,-2) = 0、つまり、a+2b-2c = 0、
(a,b,c)⊥(0,4,2)から、(a,b,c)・(0,4,2) = 0、つまり、4b+2c = 0、です。

これだと、文字３つに、方程式２つで、ピッタリ１つの値に決まりませんが、必要なのは方向だけ、
方向としては、(1,2,3)も、(2,4,6)も、同じこと、なので、それで問題ありません。
で、a を定数とみれば、2b-2c=-a、4b+2c=0 なので、b,cについて解くと、b=-a/6、c=a/3、
よって、(a,b,c) = (a,-a/6,a/3)、a=6とすれば、(a,b,c)=(6,-1,2) なので、
平面αの方程式は、6x-y+2 = 0 になります。

大学生式だと、ベクトルの外積という奴があって、普通の数になる内積と違い、ベクトル、それも、かける２つのベクトルにそれぞれ垂直なベクトルになるので、一発で、法線ベクトルを求めることができます。
(1,2,-2)×(0,4,2) = (2*2-(-2)*4, -2*0-1*2, 1*4-2*0) = (12, -2, 4) なので、
平面αの方程式は、12x-2y+4=0、両辺を２で割って、6x-y+2=0、当然ですが、同じ結果になりました。

お礼

大変親切な回答本当にありがとうございます。
線形「代数」でしたね、気づきませんでした。
現在大学１年ですが今まであまりまじめに取り組んでこなかったので必死に復習している最中です。
先に回答いただきましたので後ほどベストアンサーにさせていただきたいと思います。
それで少々質問したいのですが(a,b,c)が（6,-1,2)と出た後6x-y+2=0となっていますがこれはどうやって出たんでしょうか？
ax+by+cz+d = 0に代入ではないですよね。
また、確認のためもう１問解きたいのですが例えば-x=y/2=zとx/3=y/4=zをともに含む平面といったら(-1,2,1)と(3,4,1)の外積で(-2,4,-10)より-x+2y-5=0で合ってますでしょうか？
お手間をかけてしまい申し訳ありません。よろしくお願いします。