確率の問題なのですが…どうしてそれで良いのか？

質問

無記名式のアンケートにもかかわらず、答えにくい質問（例えば、主婦10000人に対して、「あなたは不倫をしていますか？」と）するときに、必ずしも本当のことを答えてくれないかもしれません。

このとき、以下の技法により、かなり正確に割合を見積もれるということです。

■調査相手に（公正な）コインを渡し、個室で振ってもらいます。

1)裏が出れば、この質問に対して本当の回答をYesかNoで紙に書いてもらいます。

2)表が出れば、もう一度コインを投げてもらい、「２回目には表が出ましたか」という質問に、YesかNoで答えて（書いて）もらいます。

調査人数が m人いて、Yesと答える総数をYで表すことにすると、かなり正確な割合は、

(Y-m/4)/(m/2) ……(A)

となるそうなのです。

例えば、m=10,000、Y=6,230だと、

１回目にコインを投げて裏が出る人は、m/2=5,000人は、この質問に答えます。

表が出た場合（計算上m/2人）は、２回目のコインを投げ、そこでYesと答える人が、m/4=2500人います。

このとき(A)の式で計算すると、

(6230-2500)/5000=74.6%

本当かどうか私には納得できません。

出典：「ちょっと手ごわい確率パズル」（青土社）

回答No.1

liar_adan · ベストアンサー

ややこしい話ですね…。これを読んで、夜も寝ないで考えてみましたが、
たぶんこういう事だと思います。

たとえば「浮気をしていますか？」という問題に対してYesとは答えにくいが、
「2回コインを投げて、YesかNoかを記入させる」可能性も残しておくと、
「私は実際に浮気をしていて、Yesと書いたけど、
浮気していると思われたくないわ。
だから、Yesというのは、『2回目の濃いんで表が出た』ということだと思ってね。おねがいよ」
という、いいわけ、あるいは逃げを用意している。
だから本当のことを書いてくれるだろう…。
という事だと思います。

数学的には、サンプルのだいたい1/2は表が出て、その1/2はさらに表が出るのだから、
Yesの数のうち、サンプルの1/4は、2番目の規則によるYesです。これは数から除きます。
これが(Y-m/4)のm/4の意味です。
また、分母のm/2というのは、最初に裏が出た数です。

しかし、この程度の「逃げ」を用意したところで、
正確な回答が得られるとは思えませんねえ。
裏が出た人がYesと書き込む段階で、抵抗を感じるでしょうから。
あまり現実には役立たないと思います。

お礼

お考えていただき、ありがとうございました。
私もいろいろ考えてみました…

Ａ＝本当の回答としてYesと答えている人数
Ｂ＝本当の回答としてNoと答えている人数
Ｃ＝うその回答としてYesと答えている人数
Ｄ＝うその回答としてNoと答えている人数

として、今求めたい割合は、（Ａ＋Ｄ）÷（Ａ＋Ｂ＋Ｃ＋Ｄ）ですが、その近似値として、Ａ÷（Ａ＋Ｂ）となりそうです。

まず、Ａの値を求めるには、Ｙ－ｍ/４ です。
また、Ａ＋Ｂの値は、ｍ/２
だからしょうか？？

回答No.4

fushigichan

kbannaiさん、こんにちは。

＞調査人数が m人いて、Yesと答える総数をYで表すことにすると、かなり正確な割合は、

＞(Y-m/4)/(m/2) ……(A)

この正確な割合というのが、少しわかりにくいのですが
例えば、１００％の正確性を出すには
(Y-m/4)/(m/2)=1
Y-m/4=m/2
Y=(3/4)m
となるので、m=10000人のとき、Yesとこたえた人が
７５００人なら、１００％の正確性、ということでしょうか。
それは、成り立つとはいえないように思えます。

たとえば、
実験１００００人で、
不倫をしている人は、実際４０００人いたとします。
でも、「不倫していますか？」で「Yes」とこたえる人は２４００人とします。
していても、不倫しています、とは書かない人は１６００人いたとすると
４０００人のうち、２４００人しか本当のことを書いていないので
その正確性は２４００÷４０００×１００＝６０％

一方、kbannaiさんの例の手法を使いますと
１回目にYesとこたえるのはやはり２４００人→これを除外する。
２回目にチャレンジするのは、１００００－２４００＝７６００人
コインを投げて、裏か表が出るので、表が出る人は
大体この半分と考えて７６００÷２＝３８００人
となるので、この実験で、Yesと書くのは
２４００＋３８００＝６２００人
Y=６２００　ｍ＝１００００　m/4＝２５００
なので、
(Y-m/4)/(m/2)=(6200-2500)/5000=74％

となるので、実際の数値と違います。

＃１さんのっしゃるように、
「２回目に表が出ればイエスと書ける」という可能性があるので
イエスと書いた人＝不倫している人
とは決め付けられないので、不倫していますか？にイエスとこたえやすい、というだけで
必ずしも正確な数値は出ないと思います。

お礼

具体的な例を挙げていただきありがとうございました。やはり、この計算では無理なような気がしました。

回答No.3

yuusukekyouju

この問題について2つに分けて考えてみましょう。
＞答えにくい質問
これは無記名であったも質問者に自分の答えが完全にわかってしまうため、そのことがイヤで答えにくいと考えた場合、質問者のいない個室でコインを投げてそれにより、表がでた場合は質問に答え、裏が出た場合は質問とは関係ない答えをするということで、質問者に自分の答えが完全にはわからない。つまり答えにくくなくなる。その結果としてコインが表の場合は正確に答えやすくなるのではないでしょうか。

２番目にこの場合の答えの中には、質問と関係のないものに対する答えも入っています。
質問に正しく答える人は1回目のコインが表の人、つまり
ｍ人の半分（ｍ/2人）
またYesと答えた人の中に質問に関係なくYesとした人はｍ人の半分の半分ですからYからｍ/4を引いた人数が質問に答え、かつYesと答えた人ではないでしょうか。

お礼

ありがとうございます。この方法は、調査相手の警戒心を少しでも緩和し、より正確な数値をはじき出すための方法かもしれません。しかし、その相手もすぐに理解できるとは思えませんし、何より、Y＜m/4となる場合は明らかに使えませんね。

回答No.2

shige_70

数学的には全く意味をもたないただの精神論です。

お礼

ありがとうございました。正しい値は、絶対に知ることができないのですからねえ。