複雑な期待値

質問

ルーレットでストリートベッド(123等3つの数字を1つにかける)をすると当たる確率は37/3=12.33です。当たると払い戻しは12$です。　

まず1$をストリートベッドします。　
11回目までに当たらなければ、12回目から17回目まで2$ドルかけます。　
こうする事によって当たれば必ずプラスになるからです。
当たれば最初の1$からやり直しです。

ここで聞きたいのは、このやり方で期待値はプラスになるのでしょうか？

ちなみに、17回目も当たらなかった場合は、最初の1$からやり直しです。

確率、期待値に詳しい方計算していただきたいです。

回答No.5

Tacosan · ベストアンサー

やってみました.

12回目までに当たったときの儲けの期待値は $4.490 くらい.
一方 12回全て外れたときには $13 失い, その確率を掛けると損失の期待値 (?) は $4.713 くらい. ということで, 12回のセットで $0.223 ほどの損失となります.

確かに 17回のところを 12回にしたために「全て外れた」ときの損失は減るんだけど, 当たる可能性も減るので「もっと多くやっていれば得られたはずの儲け」も減るんだよね.

しかし, こんなのプログラム組む必要ないよなぁ.... 表計算ソフトがあれば誰でもできる.

お礼

何回も計算していただき感謝しております。　

この方法でも期待値がプラスにならないのですか、、　

やはり、胴元が儲かるようになってるんですね。　

本当にありがとうございました！！

回答No.4

WiredLogic

実際手で計算できるように、

・ストリートベットでなく、小(1-12)に賭ける
・控除分(0,00,000)で、親の総取りになる分はないとする
　(※ No.2さんの指摘ですが、000まであるのは、確か、
　中米かどっかでやってる奴で、アメリカでは00まで)

こうすると、１回で当る確率が(1/3)、オッズが３倍なので、
完全に公平な賭けになります。その上で、１～２回めには、
１ドルを賭け、３回めに２ドルを賭けるセットを考えます。

１回目に当る確率は、1/3、１ドル賭けて、払い戻しが、
３ドルなので、儲けは、２ドルなので、
この回での儲けの期待値は、2×(1/3)で、2/3ドル、

ちなみに、ハズレの確率は、2/3で、失うのは１ドル、
よって、損の期待値は、1×(2/3)で、2/3ドル、なので、
この回で打ち切った場合の、儲けの期待値は、±0。

１回目で外れ、２回目で当る確率は、(2/3)×(1/3)、
通算２ドルかけて、払い戻しが３ドルで、儲けは１ドル、
よって、この回での儲けの期待値は、
1×(2/3)×(1/3)で、2/9ドル、よって、
２回目までの儲けの期待値の通算は、2/3 + 2/9 = 8/9ドル、

ちなみに、２回続けて外れる確率は、(2/3)×(2/3)=4/9、
失うのは２ドルなので、損の期待値は、2×(4/9)=8/9ドル
で、やはり、ここで打ち切った場合の儲けの期待値は±0。

１・２回と外れ、３回目で当てる確率は、(2/3)×(2/3)×(1/3)、
この回は賭けるのが２ドルなので、通算４ドル賭けて、
払い戻しが、６ドルなので、儲けは２ドル、よって、この回での
儲けの期待値は、2×(2/3)×(2/3)×(1/3) = 8/27ドル、よって、
３回目までの儲けの期待値の通算は、8/9+8/27=32/27ドル、

ちなみに、３回続けて外れる確率は、(2/3)×(2/3)×(2/3)=8/27、
通算で、４ドルの損なので、損の期待値は、4*(8/27)=32/27ドル、
つまり、セット全体での儲けの期待値は、±0。

(ツッコマれる前に、書いておくと、数学的には、期待値は、トータル
で考えるものなので、この回での儲けの期待値などというのは、正確
な表現ではありません。そこらへんが解る人は、トータルの期待値の
中での、その回の儲けの寄与分、とでも、読み直してください)

このへんで、もう解ってこられたのではないかと思いますが、
公平な賭けであれば、どの時点で打ち切っても、期待値は、±0、

ストリートベットにせよ、１点賭けにせよ、数値は変わっても、
本質は変わらず、毎回の期待値は±0、したがって、どんなセット
を考えて実行しても、トータルの期待値も±0になります。

１回目に１ドル、外れたら、２回目は２ドル、３回目は４ドルと、
倍々になるように、確率(1/2)の黒赤などに、賭けて行き、当れば、
また、１ドルからやり直し、これだと、ほとんどのセットでは
１ドル儲かって終わりですが、たまに、カジノの終了時間や、
持ち金がなくなる(回数増えるととんでもない金額になりますし)
などで、大金を失うことがあるので、やはり期待値は、計算しても
(というよりするまでもなく)±0。

まして、実際のルーレットには、0,00,000などの控除分があり、
公平な賭けより、わずかとは言え、当る確率が低い訳ですから、
１回の賭けでの期待値は基本マイナス。どんなセットを考えても
プラスに転じることはありません。

回答No.3

Tacosan

プログラムを組んで計算させてみました. ということで, プログラムが正しいことを前提にするわけだが....

「17回目までに 1回でも当たる」と仮定して, 当ったときに止めることにすると得られる利益の期待値はおよそ $5.157. ただし「17回やっても 1回も当たらない」可能性が #2 に書いたように 1/4 弱あって, このときに失う額の期待値が $5.463.
つまり「当たったら終わり, 当たらなくても 17回やったら終わり」というシステムであってさえ, 1セット全体でおよそ $0.306 ほど失うということになる.

多分, 本質的には Martingale と同じ. つまり, 宝くじとは逆に「少数の人が大怪我をして, 残り多くの人がちょっとだけ儲かる」というシステム (ただし 1回怪我をするとそれまでの儲けはすべて吹き飛ぶ) だろう.

補足

Tacosanさんありがとうございます！シミュレーションして下さり感謝いたします。　

マイナスですか、、御手数ですがもう一度シミュレーションしていただきたいでのですが、、
「11回目まで1$かけて、12回目に2$をかける」

「当たれば最初から。外しても1$に戻って最初から。」

これなら、12回で外しても-13$ですし、約36％で12回以内で当たりますから、期待値はプラスだと思います。

回答No.2

Tacosan

アメリカ式の場合, 儲けの期待値は $1 に対して -$1/19 ですね＞#1.

あと #1 では「確率は高くなくても、１セット全部外れ続けることがあり」と書かれていますが, 実際に計算すると「17回連続して外れる確率」は思いのほか高く, 23.7%強 (大雑把には「4回に 1回弱」) となります.

そもそも「1回あたりの儲けの期待値」が正にならない以上, 基本的には何をどうしようと「トータルで儲かる」ことはないです. 特に期待値を考えたら決してありえません.

回答No.1

WiredLogic

最初の当る確率「37/3=12.33」は、「3/37=0.081…」の勘違いか、タイプミスですよね？

ストリートベッドで当る金額×当る確率＝12×(3/37)＝36/37、
アメリカ式の「00」のあるルーレットだと、さらに低い、36/38、
ともに１を切ってる訳ですから、１ドルかけて、１回に儲かる金額の
期待値は、1/37(or1/38)ドルの赤字。

ということで、おっしゃるようなシステムにしたからといって、全体の
期待値が、プラスになることは期待できません。

確かに、それなりに高い確率で、何がしかの黒字で１セットを終了
することができますが、確率は高くなくても、１セット全部外れ続ける
ことあり、このときは、23ドルの赤字、この分でトータルの期待値が
赤字に転落します。

お礼

なるほど、期待値はマイナスになるのですね、、　

ありがとうございました！