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p(x,y)をX×Yの上の述語とする。次を示す
任意のx(Xに含まれる)あるy(Yに含まれる){p(x,y)} と あるy(Yに含まれる)任意のx(Xに含まれる){p(x,y)} とは異なることを身近な例を用いて説明せよ。 という問題です。 説明の仕方(道筋)がわからないので教えていただければ嬉しいです。
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> Xをある授業の出席者の集合として > Yを男と女の集合としても > 証明できますか? 証明というか,例を挙げるということですよね? いろいろ考えてみましたが, 私にはいい例が思いつきません. > Yを男と女の集合としても というのは Y = {男, 女} ということでしょうか? それとも Y = 男も女もひっくるめた集合 ってことでしょうか?
これは、#1さんも仰るように、 ∀x∃y(p) (1) と、 ∃x∀y(p) (2) を区別せよ、という問題ですが、このような書き方は論理学の癖ですので、定義に従って意味を考えるしかないです。定義に従えば、∀と∃を考える順番は、 ∀x(∃y(p)) (3) ∃x(∀y(p)) (4) となります。そして必ず左から考えます。日本語にすれば、 任意のxに対して、あるyが存在し、pが成り立つ (3’) あるxが存在し、任意のyに対して、pが成り立つ (4’) ・・・わかんないですよね?。もう少し日本語らしくします。 任意のxに対して、(xに依存した)あるyが存在し、pが成り立つ (3”) あるxが存在し、(そのxを固定したまま)任意のyに対して、pが成り立つ (4”) ・・・さらに歯切れ良くします。 各xで、あるyが存在しp (3”’) 固定したxがあり、任意のyでp (4”’) X={世界中の女全部}の集合,Y={世界中の男全部}の集合,p(x,y)は「xはyにもてもて」として、考えてみて下さい^^。 ・・・ここでやめようかと思ったのですが、書いちゃいます(以下は、半分冗談です^^)。 誰にでも、運命の人はいる (3””) どうしようもなく、もてる奴もいる (4””) ・・・以上です^^。
例えば X = Y = N (自然数全体の集合) とし, p(x,y) を「yはxよりも大きい」とします. ∀x ∈ N, ∃y ∈ N [p(x,y)] は 「どんな自然数xに対しても,それより大きい自然数yが存在する」 という内容になり,この命題は真ですが, ∃y ∈ N, ∀x ∈ N [p(x,y)] は 「ある自然数yはどんな自然数よりも大きい」 という内容になり,この命題は偽です. こういうことなんじゃないでしょうか? 身近かどうかはわかりませんが.
補足
ありがとうございました! 自分でも考えてみたのですが Xをある授業の出席者の集合として Yを男と女の集合としても 証明できますか?