分数型の漸化式

質問

数列｛an｝がa1=4,an+1=4an+8/an+6で定められている。
(1)bn=an-β/an-αとおく。このとき,数列｛bn｝が等比数列となるようなα,β(α>β)の値を求めよ。

bn+1=an+1-β/an+1-α=(4an+8/an+6)-β/(4an+8/an+6)-α=(4-β)an+8-6β/(4-α)an+8-6α
=(4-β)/4-α・an+(8-6β/4-β)/an+(8-6α/4-α)・・・・(1)
｛bn｝が等比数列になるための条件は8-6α/4-α=-α,8-6β/4-β=-β
よって,α,βは２次方程式8-6x=-x(4-x)の2つの解であり,α>βからα=2,β=-4

教えてほしいところ
α,βは２次方程式8-6x=-x(4-x)の2つの解でありとありますが、8-6α/4-α=-αや8-6β/4-β=-β
はα=4,β=4だと値が存在しませんよね？ ですから、２次方程式8-6x=-x(4-x)を解いた上で４でないことを確認すっる必要があるのでは？？

回答No.3

naniwacchi · ベストアンサー

こんばんわ。

まず、分子・分母が非常に見づらいです。
中括弧も用いるなどして、どこまでが分子で、どこまでが分母かをわかるようにしてください。
できれば、数列の項も a(n+1)や a[n+1]などと表してもらうと、わかりやすいかと。

本題ですが、αやβが 4にはならないことは、
b[n+1]＝ { (4-β)a[n]+ 8-6β }/{ (4-α)a[n]+ 8-6α }

と表された時点で言えることですね。
分子・分母いずれかの a[n]の係数が 0になるので、
b[n]＝ { a[n]-β }/{ a[n]-α }

の形にならないからです。
ですので、2次方程式の話へもっていく前に
「α,βはともに 4とはならない」もしくは「α≠ 4かつ β≠ 4である」と言えることになります。

#1さんや、#2さんの回答は
「出てきた答えがもし x＝ 4となれば、そのときにきちんと論じればよい」というスタンスになると思います。
わたしもそれでいいかと思います。

どうしても確認を入れるのであれば、
2次方程式を解いてから、わざわざ「4ではありませんね」とするより、
上のようにあらかじめ「4ではダメですよ」って言っておいて、
もし 4になったら・・・というように論じればいいと思います。
（実際の解は 4にならないので、特に論じない。）

回答No.2

Tacosan

えぇと....
「明らかといえる根拠を示していただけませんか？？」
ということは, あなたには「2 と 4が違う」とか「4 と -4 は違う」ということが明らかではない, ということですか?

回答No.1

alice_44

2 も、-4 も、4 でないことは明らかだと思いますが。

補足

明らかといえる根拠を示していただけませんか？？