導関数

質問

sin(3x)の導関数です。
[sin{3(x+△X)}-sin3x]/△x のあとが
[2sin(△x/2)*cos3x+(△x/2)]/△x
でよろしいでしょうか？細かいところのチェックをお願いします。

回答No.2

noname#24477 · ベストアンサー

積和の公式を使ってますね。
[2sin3(△x/2)*cos3{x+(△x/2)}]/△x
sinの中の△xも３倍になります。

極限値が求まるように分母も係数をつけて
分子の係数もそれに合わせて変わります。

=[3sin3(△x/2)*cos3{x+(△x/2)}]/(3/2)△x

→3cos3x

お礼

勉強不足ですね。ありがとうございました。

回答No.3

KENZOU

マクローリン展開を用いたやり方は＃１のElectricGamoさんがやられていますので、ここでは微分法の定義に従って展開してみましょう。まず、次の極限値を自明とします。
lim[△x→0]{cos(△x)-1)/△x}=0 　(1)
lim[△x→0]{sin(△x)/△x}=1 　(2)
さて、sin3xをxで微分すると、微分法の定義により次のように展開されます。
dsin3x/dx=lim[△x→0]{sin3xcos3△x+cos3xsin3△x-sin3x}/△x
　=lim[△x→0]{sin3x(cos3△x-1)+cos3xsin3△x}/△x
　=lim[△x→0]{[3sin3x(cos3△x-1)/3△x]+3cos3xsin3△X/3△x} (3)
ところで(3)式の右辺第1項は(1)式より０、第2項は(2)式より3cos3xとなりますので結果は
dsin3x/dx=3cos3x

参考URL：

http://oshiete1.goo.ne.jp/kotaeru.php3?q=645444

お礼

詳しい解説ありがとうございます

回答No.1

ElectricGamo

導出過程が分かりませんので、私ならこう解くということで。

sin(3x+3△X)=sin3xcos3△X+cos3xsin3△X

に

cos3△X = 1 - 1/2!*(3△X)^2+...
sin3△X = 3△X - 1/3! * (3△X)^3 +...

を用いると

[sin{3(x+△X)}-sin3x]/△x = [sin3x(1 - 1/2!*(3△X)^2+...) + cos3x(3△X - 1/3! * (3△X)^3 +...) - sin3x]/△x
= [cos3x*3△X + (△X^2より高次の項)]/△x
= 3*cos3x + (△xより高次の項)

となります。△x→0 とすると 3cos3x なので sin3x を微分した結果と一致します。

お礼

ありがとうございます。参考にしたいと思います。