確率流密度

質問

確率流密度Jと確率密度ｐの間にJ＝ｐ〈ｖ〉の関係があることを示せという問題がわかりません。どうやったらいいのかヒントでもいいので教えてください。

回答No.2

hitokotonusi

ああなるほど、意味がわからなかったｐ〈ｖ〉の〈ｖ〉は期待値でしたか。
運動量ではなく速度でしょうね。

正直見たことがない式ですね。密度×速度が流れになる古典論と対比させるんでしょうけど、量子力学の場合、速度だけ期待値をとって意味があるんでしょうか。

確率の流れの密度は係数が間違ってませんか？多分、

J = i (hbar/2m) (φ∇φ*-φ*∇φ)= ih/4πm(φ∇φ*-φ*∇φ)

です。この式は、運動量演算子がp^ = (-i hbar ∇)であることを使うと

J = (1/2m)(φ p^* φ* + φ* p^φ)

これを積分すると

∫ J dV = (1/2m)(∫φ p^* φ* dV + ∫φ* p^φ dV )

ディラックの記号を使って

∫ J dV = (1/2m)(<φ |p^†|φ> + <φ|p^|φ> )

となりますが、運動量はエルミート演算子なので<φ |p^†|φ> ＝ <φ|p^|φ>であり、

∫ J dV = (1/m)<φ|p^|φ> = <p>/m = <v>

と、ここまでは出ますね。この後、意味があるかどうかは知りませんが、

∫ P dV =∫ φ* φ dV = 1

であることを使うと

∫ J dV = <v>∫ P dV　=　∫ P <v> dV

となり、被積分関数同士を比較すれば

J = P<v>

となりますが、これでいいんでしょうか？

正直自信はありませんし、元の式J＝ｐ〈ｖ〉に意味があるかどうかの確信も持てません。
はっきりしなくてすいません。

回答No.1

hitokotonusi

JとPの定義を正確に書いてください。

普通に考えれば流れには次元に1/時間があるはずで、確率密度の次元には時間を含まないので左辺と右辺で次元があいません。

よく知られている関係であるとすれば、一次元で次の連続の方程式が成り立ちます。

∂P/∂t = - ∂J/∂x

お礼

回答ありがとうございます。
すみません忘れてました。
J = iπh/m(φ∇φ*-φ*∇φ)　, P = φ*φ
φはｒの関数です。

補足

補足
〈ｖ〉は運動量の期待値です。