反跳エネルギーの導出方法

質問

放射線についての質問です。分野は物理学としましたが化学の要素もあると思います。
次の問題で困っています。よろしくお願いいたします。

「次の核反応に伴う反跳エネルギーがそれぞれ下記のようになることを導出せよ。
(1) 536E^2/m　：(n,γ)反応
(2) 536E(E+1.02)/m　：(β+、β-壊変)
ただし、Eは(1)ではγ線のエネルギー、(2)ではβ線のエネルギー（MeV単位）を表し、mは反跳原子の質量を表す。」

・536という数字にはあまりこだわらなくてもよいようです。537としている本もあるようです。
・(1)では放射線の粒子性、(2)では放射線の粒子性と波動性を用いるようです。
・1.02というのは電子2個分の質量分のエネルギーと同じですが、関係あるのでしょうか。

以上です。よろしくお願いいたします。また、OKwaveのような質問サイトにはあまり慣れていないもので、何か至らない点がありましたら申し訳ありません。

回答No.5

eatern27 · ベストアンサー

遅くなりました。

多分、その計算ででいいはずですよ。

E^2の項が出てこないのは電子もニュートン力学で扱っているからでしょう。
※E～1MeV程度を想定しているのに対し電子の質量は0.5MeV程度ですから実際にはニュートン力学では扱えない領域です。

相対論に持っていくための準備(必須ではないですがいくらか計算が楽になりますので)として、
貴方の計算(#4補足)において、速度v,Vを使っている所を全て運動量p,Pで書き換えます。
具体的にはv=p/m, V=P/Mを代入するだけで、計算の流れとしては
p + P = 0、E = p^2/2m
の2つの式からT = P^2/2Mを計算という形になります。

で、電子を相対論で扱いたい場合には、
ニュートン力学での運動エネルギー(E = p^2/2m)を
相対論での運動エネルギー：E = √((mc^2)^2+(pc)^2)-mc^2
に書き換えて同様の計算をするだけです。

536という係数に関して。
例えば一辺Lの正方形の面積Sは
S = L^2
となりますが、例えばLの単位がフィート(ft),Sの単位がm^2であれば、
S[m^2] =0.09290304 * (L [ft])^2
という感じで、左辺と右辺で単位が異なればその単位を変換する係数(0.0929)が付きますよね。
ご質問のケースでも同じで、536のような係数は、こういう単位の変換係数を含めたものでしょう。
Eの単位がMeVと指定されているように、M,Tの単位も何かに決まっているはずです。

お礼

数度にわたりご回答いただき、ありがとうございました。
おかげさまで大方理解することができました。
相対論を使った部分は見たことがなく戸惑うところがありますが、これからの学習で完全に理解できるようになるよう努めたいと思います。
重ね重ね、ありがとうございました。

回答No.4

eatern27

>原子のエネルギーと書いたのは核反応の前の原子の運動エネルギーで、それと電子の反跳により受けるエネルギーとを合わせて前のような答えに至ったのでした・・・。
ん～、どういう考え方なのか分からないですね^^;
とりあえず、重心系では崩壊前の原子は静止している事はご存知ですか？

>(β崩壊前の全運動量)=P+p=MV+mv
間違ってはいないのですが、
重心系ではP+p=MV+mvが(具体的に)いくらになるんでしょうか。
重心系では崩壊前の原子は静止している事と、運動量保存則を合わせて考えた方が分かりやすいはず。

これとE=mv^2/2を合わせれば、崩壊後の原子の運動エネルギーが求まるはずです。

補足

>とりあえず、重心系では崩壊前の原子は静止している事はご存知ですか？
知りませんでした。お恥ずかしい限りです。

重心系では、MV+mv=0でしょうか。
従ってV=-(m/M)v
崩壊後の原子の運動エネルギーをTとすると、
T=(1/2)MV^2
　=(1/2)M×(m^2/M^2)v^2
　=(1/2)(m^2/M)v^2
　=E(m/M)
合っていますでしょうか。
でも答えとは違いますよね。536やE^2はどこから出てくるのでしょうか。
再三お手数をおかけして恐縮ですが、ご回答をお願いいたします。

回答No.3

eatern27

>原子のエネルギーと電子から受ける分のエネルギーを合わせて
>(1/2)MV^2+(1/2)mv^2　・・・違いますよね。
「反跳エネルギー」とは原子の運動エネルギーだったと思うんだけどなぁ。

さて、
原子の運動量Ｐ
電子の運動量ｐ
β崩壊前の全運動量(今は重心系で考えています)
電子の運動エネルギーＥ
を原子の質量Ｍ、電子の質量ｍ、原子の速度Ｖ、電子の速度ｖ(のうち必要なもの)を用いてどう表わされるのでしょうか。

補足

>「反跳エネルギー」とは原子の運動エネルギーだったと思うんだけどなぁ。
重ね重ね、レベルが低くて申し訳ありません。
原子のエネルギーと書いたのは核反応の前の原子の運動エネルギーで、それと電子の反跳により受けるエネルギーとを合わせて前のような答えに至ったのでした・・・。

今回書いてあるM,Vが核反応の後のものだとすれば、
P=MV
p=mv
(β崩壊前の全運動量)=P+p=MV+mv
E=(1/2)mv^2
でしょうか。あまり自信はないです。すみません。

回答No.2

eatern27

一応、#1にはエネルギー保存則とはどこにも書いてないですからね。

相対論だから分からないのであれば、ニュートン力学だけで扱う分には分かるということですか？

(2)の問題で、原子も(陽)電子もニュートン力学に従うと思った場合、
反跳原子の運動エネルギーは原子の質量Ｍ、電子の質量ｍ、電子の運動エネルギーＥを用いてどう書けるのでしょうか。
計算過程と合わせて補足へどうぞ。

補足

申し訳ありません。実は相対論だからというのではなく、(1)も(2)も回答の方針自体まったくわかっていない状態です。

(2)は、原子のエネルギーと電子から受ける分のエネルギーを合わせて
(1/2)MV^2+(1/2)mv^2　・・・違いますよね。
V,vを使っていますしEを使っていませんので。
この程度しか分かっていません。低レベルですみません。

回答No.1

eatern27

いずれも重心系で運動量の保存則とエネルギーと運動量の関係式を使うだけのように見えますね。
原子はニュートン力学で、電子(と光子)は相対論的に扱うので問題ないでしょう。

お礼

ご回答ありがとうございます。エネルギーや運動量の保存を使うということですね。しかし、自分は相対論をほとんど知らないもので・・・。実際に式で説明していただけると非常に助かります。せっかくご回答いただいたのにさらに要求してしまうようで申し訳ありませんが、余裕があればお願いできないでしょうか。