三角錐、四角錐の体積の求め方

質問

都内女子大学生（文系）です。中２のコの家庭教師をしているのですが、長年数学から遠ざかっていたため、中学生の問題でも自信のないところがあります(;_;)

さて、表題の件ですが、三角錐や四角錐の体積はどのように求めるのでしょうか？また、なぜその式で求められるのか、中学生にも分かるように説明をいただけるとありがたいです。図示が出来ないので難しいところもあるかとは思いますが。

よろしくお願いいたします。

回答No.2

oui1012 · ベストアンサー

錐の体積は，柱の体積の1/3です．
証明は下記URL参照．
要は柱の切り方，です．

参考URL：

http://www.geocities.co.jp/Technopolis-Mars/6019/sehunan.html

お礼

確信はないのですが、なんとなく分かりました☆

私自身、空間把握能力に乏しいので、一度粘土などで同じ形を作ってみて、生徒にもそれを見せてみようと思います(^^;)

ありがとうございました。

回答No.6

nozomi500

過去に類似質問あり。

「水の実験」は、「本当に1/3なのか、およそ1/3なのか」という問題が出てくると思いますので、説得力に書けると思います。
（円周率が「およそ３」といわれる時代ですから）

過去質問で紹介した、立方体の重心から、其々の頂点に伸ばした銭分を斜辺とする６つの合同の４角錐、でかんがえると、「きっちり1/3」になりますし、中学生にも納得できる方法だと思います。

あと、３角錐や底面が正方形でない４角錐、円錐にいては、４錐との比で考えては？

参考URL：

http://oshiete1.goo.ne.jp/kotaeru.php3?q=88241

お礼

過去のものもいくつかはチェックしてみたのですが、いまひとつぴんと来なかったもので。

ありがとうございました。

回答No.5

grothendieck

すみません、下の私の回答で
「各錐体の体積は超立方体の1/nです。」
という所は、
「各錐体の体積は超立方体の体積の1/n!です。」
に訂正して下さい。

回答No.4

grothendieck

kizakurakarenさん、こんにちは。三角形の面積は底辺×高さ×(1/2)、三角錐の体積は底面積×高さ×(1/3)。このことからn次元錐体の体積はn次元柱体の体積の1/nになると予想され、それが正しいことは積分で容易に確かめられます。問題はこれを積分を使わずに説明することです。
　∫[0～t]dt1 H(t1)∫[0～t1]dt2 H(t2)…∫[0～tn-1]dtnH(tn)
　=(1/n!)∫[0～t]dt1dt2…dtn P{H(t1),H(t2)…H(tn)}
という積分との関係を考えてみました。少し説明しておくと、これは相互作用描像のシュレーディンガー方程式を摂動論で解く時に出てくる式で、H(t)は相互作用、Pは時間順序積を表わしますが、ここでは関係ありません。H(t)は1だと思い、Pも無視して
　∫[0～t]dt1∫[0～t1]dt2…∫[0～tn-1]dtn
　=(1/n!)∫[0～t]dt1dt2…dtn
という部分に着目して下さい。ここで右辺に(1/n!)が出てくることは次の様に説明されます。(t1,t2,…tn)のn次元ユークリッド空間で0≦t1≦t,…0≦tn≦tで定義される超立方体はt1,t2,…tnの大きさの順でn!個の大きさの等しい領域に区分できます。上の式の左辺はt1≧t2≧…≧tnという領域内の積分で、これは超立方体全体に渡る積分の1/n!になっていることを示しています。そこで超立方体を変数の大きさの順で分割すると、各錐体の体積は超立方体の1/nです。超立方体の原点とは接していない超正方形の底面は(n-1)!個に分割されています。従ってこの面を底面とする錐体の体積は小錐体の(n-1)!倍です。このことからn次元四角錐の体積をV1、四角柱の体積をV2とすると、
　V1 = (1/n)V2
となることが示されました。これで、積分を使わないで中学生にも分かる…かな？

お礼

ごめんなさい、ギリシャ文字の読み方もわからないような奴なのでとてもとても難しくて…。

ご足労かけました。
ありがとうございます。

回答No.3

ahisa

あなたがそのような疑問を持たれるのは当然だと思います。
私は中学校２年生に数学を教えています。中学生は微分や積分をまだ学習していないので、三角柱や四角柱の体積の３分の１であることを、数式で説明してもわからないのが普通です。そこで中学生には次の方法で説明してします。
(1)いろいろな三角柱や四角柱、三角錐や四角錘の容器に水を入れて３分の１になる実験をします。あなたの場合は、教科書に載っている実験の説明や図を利用してもいいでしょう。
(2)特別な四角柱は、合同な３つの四角錐に分割できます。それを見せます。ただし、一般化はできないので、説得力に欠けます。これも教科書に載っていると思います。
(3)これはどの教科でもいえることですが、中学校の数学教育でも、すべてを証明して数学体系を作り上げることが目標ではないし不可能なので、積分という方法で証明できるなどと補足説明する。そして、証明できたとして、実際に計算する方法をマスターさせることも重要なので、計算練習をさせながら、実験結果と比べたりしながら納得させる。

あくまでも中学校や高等学校の勉強は、学問の初歩段階や概要（さわり）を学ぶのだという視点で教えることがポイントだと思います。

お礼

なかなか難しいですね…。
「なんで、どうして？」といろいろ聞いてくるような子ではないのですが、いろんな意味で、表層的ではなく本質的な理解ができるようにしてあげたいと工夫しようとしています。

ありがとうございました。

回答No.1

holydevil

三角柱、四角柱の1/3です。