勝率４割の力士が勝ち越す可能性は？

質問

数学的な質問です。勝率４割の人が１５回戦って８勝以上する可能性は？
数式でご説明お願いします。

回答No.2

pi-spuare · ベストアンサー

中学生レベルだと少々難しいですね…

とりあえずある1戦で勝つ確率は4/10ですので、負けの確率は6/10です

8勝以上する確率なので、それぞれ数えていくことにします

(1)15勝するときはすべて勝つ確率なので　(4/10)^15

(2)14勝するときは1回負けるのですが、負けが何回戦目にくるのかを考えると15通りあるので、確率は 15×(6/10)(4/10)^14

(3)13勝するときは2回負けるので、負けがどの2回にくるのかを考えると105通りあるので、確率は 105×(6/10)^2(4/10)^13

(4)12勝するときは3回負けるので、負けがどの3回にくるかを考えると455通りあるので、確率は455×(6/10)^3(4/10)^12

(5)11勝するときは4回負けるので、負けがどの4回にくるかを考えると1365通りあるので、確率は1365×(6/10)^4(4/10)^11

(6)10勝するときは5回負けるので、負けがどの5回にくるかを考えると3003通りあるので、確率は3003×(6/10)^5(4/10)^10

(7)9勝するときは6回負けるので、負けがどの6回にくるかを考えると5005通りあるので、確率は5005×(6/10)^6(4/10)^9

(8)8勝するときは7回負けるので、負けがどの7回にくるかを考えると6435通りあるので、確率は6435×(6/10)^7(4/10)^8

後はこれらの合計を取れば求める確率になります

負けがどの○回にくるかを求めるに15人の中から○人委員長を選ぶ場合の数と同じ感じで考えてください

回答No.5

Ishiwara

＃４です。
すみません。「展開すると１６個の項ができる」のところで、項を書く順番をきちんと示しませんでした。
もし、0.4＾15を先頭に書くなら「左端が全勝、右端が全敗」となります。
(a+b)^2は、a^2+2ab+b^2と書くのが一般慣習ですから、私の説明はこの慣習に反しています。
恐縮ですが「左端が全勝」となるように読み直してください。

回答No.4

Ishiwara

中学レベルでは、ちょっと無理だと思いますので、考え方だけ。

（0.4+0.6）=1ですから、（0.4+0.6）＾15も１ですよね。
ところで、この式を展開すると16個の項ができます。このとき、左端を０番目、その次を１番目、最後を１５番目という数え方をすると、ｒ番目の項は、この力士がｒ勝する確率を示します。左端が全敗する確率、右端が全勝する確率です。
ですから８勝以上する確率は、８番目から１５番目（右端）までの項を足せば求められます。
このような「確率の広がり方」を「２項分布」といいます。元が0.4＋0.6という「２つの項」だからです。
原理はこれだけなのですが、実際に計算するとなると、組合せの理論を先に学んでおくべきです。そうしないと、迷子になってしまいます。

私は、これを「パチンコ玉の分布」と呼んでいます。すべての釘において、玉を左側に落とす確率が0.4、右側に落とす確率が0.6だとします。ある１つの釘に向かって玉をたくさん落とし、そこから１５段下で止めるとすると、最後にできる山の形は、この力士の勝ち数の確率分布になります。

回答No.3

noname#125931

2の方、補足してくださりありがとうございます。

以下、「負けがどの試合で起こるか」の場合の数の計算法を補足します。
（中学ですでに学んでいたら無視して結構です。）

15個のものからn個のものを選ぶ仕方は15*14...*(15-n+2)*(15-n+1)/(n*(n-1)*...*2*1)通りあります。
ただし、*は掛け算を表します。

この公式を以下に説明します。

この分数の分子は15以下のn個の整数すべてを掛けたものです。
これは15個からn個選んで並べる方法すべての数です。
まず自由に1番目を選ぶには15通り、
この1番目を与えられたものとして2番目を選ぶには14通り、
...、
1番目からn-1番目を与えられたものとしてn番目を選ぶには15-(n-1)=15-n+1通りあります。
こうして木の枝分かれのように第1個目から第k個目の選び方のそれぞれに対して第k+1番目の選び方の数があります。
したがって、n個選んで並べるには15*14*...*(15-n+1)通りあります。

しかしこの分子はn個選んで並べる仕方の数なので、(n個の選び方の数)*(n個の中での並べ方の数)に等しい。
したがって、分子を(n個の中での並べ方の数)で割ると、n個の選び方の数を得ることができます。
(n個の中での並べ方の数)は、先の説明から、n*(n-1)*...*2*1に等しいのです。
これが分母の意味です。

回答No.1

noname#125931

Σ_{n=8}^15(15Cn)*(0.4^n)*(0.6^{15-n})

補足

すいません中学レベルの数式で説明つきでお願いできませんか？