４次方程式の問題

質問

aを定数とするXの４次方程式 F(X)=(X^2-2aX+a^2+a+1)^2-4(X^2-2aX+a^2+a+1)+3の最小値を求めよ。 という問題なのですが、Aを使ってA^2-4A+3と考えるのだろうなとはわかるのですが、その後がわかりません。どなたか教えていただけませんか？

回答No.2

spring135 · ベストアンサー

A=X^2-2aX+a^2+a+1 　　　　 (1)
を必ず示すこと。これがなければ文句なしに0点です。

Aを用いると
F(X)=A^2-4A+3=(A-2)^2-1 　　　　(2)

A=2が可能ならばF=-1が最小値です。
これを確認するには(1)からAの取る値の範囲（値域）を明確にしなければなりません。
A=X^2-2aX+a^2+a+1=(X-a)^2+a+1　　　　　(1)’
aは定数でxは-∞＜X＜∞のいかなる値でも取れる実数です。
従ってX=aのときA=a+1がAの最小値でA
の値域は
a+1≦A 　　　 (3)
です。

この値域の中にA=2が入っているかどうかで答えは変わります。
(3)より
a+1≦2のときA=2が可能でF(X)の最小値は-1
つまり
a≦1でF(X)の最小値は-1 　　　 (4)

(3)の値域の中にA=2が入らない場合、
a+1＞2のとき
(1)’よりx=aのときA=a+1がAの最小値で
この時(2)より
F(X)=a(a-1)がF(X)の最小値です。
つまり
a>1でF(X)の最小値はa(a-2)　　　　　　(5)

(4),(5)が答えです。

(2)(3)のグラフを描いて考えてください。

お礼

spring135さん、どうもありがとうございました。とても助かりました！

回答No.1

naniwacchi

こんにちわ。

＞Aを使ってA^2-4A+3と考えるのだろうな
そうですね。＾＾
このまま考えると、Aの 2次関数として最小値を考えればいいのですが。
さて、Aという「変数」はどのような値をとることができますか？
関数：g(A)として、その「定義域」がどうなるかを考えてみてください。

ところで、この問題は「方程式」ではないですよね。＾＾；